Tính tổng dãy số cách đều lớp 6 (7 dạng toán từ cơ bản đến nâng cao)

Bài toán tính tổng dãy số cách đều lớp 6 thường gặp rất nhiều trong các đề kiểm tra, đề thi cuối kì và đề thi học sinh giỏi. Nhiều học sinh chưa nắm được quy luật của dãy số cách đều rất dễ bị mất điểm khi gặp câu hỏi này. Cùng Toploigiai tìm phương pháp tính tổng dãy số cách đều lớp 6 trong nội dung dưới đây

Công thức tính tổng dãy số cách đều

Bước 1: Xác định quy luật của dãy số.

Bước 2: Tính số số hạng có trong dãy.

Số số hạng = (Số hạng lớn nhất của dãy – số hạng bé nhất của dãy): khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp trong dãy + 1

Ví dụ: từ số 1,2,3…45 có số số hạng là: (45-1):1 + 1 = 45 (số)

Bước 3: Tính tổng của dãy theo công thức:

Tổng = (Số hạng lớn nhất của dãy + số hạng bé nhất của dãy) x số số hạng có trong dãy : 2

Phương pháp làm bài toán tính tổng một dãy số lớp 6

Điền thêm số hạng vào sau, giữa hoặc trước một dãy số. Trước hết ta cần xác định lại quy luật của dãy số:

+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng đứng trước nó cộng (hoặc trừ) với một số tự nhiên a.

+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng đứng trước nó nhân (hoặc chia) với một số tự nhiên q khác 0.

+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 3) bằng tổng 2 số hạng đứng liền trước nó.

+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 4) bằng tổng của số hạng đứng trước nó cộng với số tự nhiên d rồi cộng với số thứ tự của số hạng ấy.

+ Số hạng đứng sau bằng số hạng đứng trước nhân với số thứ tự của nó.

+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) trở đi đều bằng a lần số liền trước nó.

+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) trở đi, mỗi số liền sau bằng a lần số liền trước nó cộng (trừ ) n (n khác 0).

Sau khi tìm ra quy luật, ta áp dụng cách tính tổng phù hợp với từng quy luật đó.

Các dạng toán tính tổng dãy số cách đều lớp 6

Dạng 1: Tổng các số hạng cách đều: S = a₁+ a₂+ a₃+ … + a_n

Phương pháp giải:

Số hạng thứ n: a_n

Số số hạng: n = (a_n- a₁) : d + 1

Tổng S = n.(a₁+ a_n) : 2

Ví dụ 1: Tính tổng S = 1 + 2 + 3 + … + 2020

Lời giải:

Ta có: a1 = 1; a_n = 2020; d = 1

Số hạng: n = (2020 – 1) : 1 + 1 = 2020

Tổng S = 2020 . (1 + 2020) : 2 = 2041210

Ví dụ 2: Tính: S = 1 + 4 + 7 + …+ 2008

Lời giải:

Ta có: d = 3

Số số hạng: n = (2008 - 1) : 3 + 1 = 670

S = (1 + 2008) x 670 : 2 = 673015

Dạng 2: Tổng có dạng S = 1 + a + a²+ a³+ … + aⁿ (1)

Phương pháp giải:

* Trường hợp 1: Nếu a = 1 thì S = n+1

* Trường hợp 2: Nếu a ≠ 1 thì tổng S được tính như sau:
- Bước 1: Nhân cả 2 vế của (1) với số a, ta có:

a.S = a + a²+ a³+ … + aⁿ⁺¹ (2)

- Bước 2: Lấy (2) trừ đi (1) vế theo ta được:

a.S - S = aⁿ⁺¹ - 1

Vậy, ta suy ra được:

Ví dụ: Tính Tổng S = 1 + 2 + 2²+ 2³+ … + 2¹⁰⁰

Lời giải:

Dạng 3: Tính tổng có dạng A = 1 + a²+ a⁴+ a⁶+ … + a²ⁿ  (1)

Phương pháp giải:

- Nhân cả 2 vế của (1) với số a², ta có:

a².A = a²+ a⁴+ a⁶+ a⁸ +…+a²ⁿ⁺² (2) 
Lấy (2) trừ (1) theo 2 vế ta được:

Ví dụ: Tính tổng sau: A = 1 + 2²+ 2⁴+ 2⁶+ … + 2¹⁰⁰

Lời giải:

Theo đề ta có:

A=1 + 2² + 2⁴ +...+ 2¹⁰⁰ (1)

Nhân 2 vế với 2² ta có:

4.A=2²+2⁴+2⁶+...+2¹⁰² (2)

Lấy (1) trừ (2) theo vế theo vế ta được:

3A=2¹⁰²−1

=> A = (2¹⁰²−1) / 3

Dạng 4: Tính tổng có dạng B = a + a³+ a⁵+ … + a^2n + 1  (1)

Phương pháp giải: Như bài toán ở dạng 3.

- Nhân cả 2 vế với a² ta được:

a².B = a3+ a5+ a7+ …+a^2n-1 + a²ⁿ⁺² (2) 

- Lấy (2) trừ (1) theo 2 vế ta được:

Ví dụ: Tính tổng sau: B = 2 + 2³+ 2⁵+ … + 2⁵¹

Lời giải:

B = 2 + 2³+ 2⁵+ … + 2⁵¹

Theo bài ta có: a = 2; 2n - 1 = 51 => n = 26

Áp dụng công thức ở trên, ta có:

B = (2⁵² - 2)/ (2² - 1)

Dạng 5: Tính tổng có dạng: S = a₁.a₂+ a₂.a₃+ a₃.a₄+ … + a_n-1.a_n

Khoảng cách giữa 2 thừa số trong mỗi số hạng là k:

a₂- a₁= a₃- a₂= a₄- a₃= … = a_n- a_{n - 1} = k.

Phương pháp giải:

- Bước 1: Nhân S với 3 lần khoảng cách giữa 2 thừa số (k), ta có:

3kS = a₁.a₂.3k + a₂.a₃.3k + a₃.a₄.3k + … + a_{n - 1}.a_n.3k

- Bước 2: Phân tích từng số hạng của tổng mới để xuất hiện các số hạng đối nhau:

a_{n - 1}.a_n.3k = a_{n - 1}.a_n.(a_n+1 - a_n-2) = a_n-2.a_n-1.a_n- a_{n - 1}.a_n.a_n+1

Chú ý: Bài toán tổng quát dạng:

Ví dụ: Tính tổng 1.3+3.5+5.7+…+99.101

Lời giải:

Khoảng cách giữa hai thừa số trong mỗi số hạng là 2.

Để tách mỗi số hạng thành hiệu của hai số nhằm triệt tiêu từng cặp hai số, ta nhân mỗi số hạng của B với 6 (ba lần khoảng cách giữa hai thừa số). Thừa số 6 này được viết dưới dạng (5+1) ở số hạng thứ nhất, (7-1) ở số hạng thứ hai, (9-3) ở số hạng thứ ba, …, (103-97 ) ở số hạng cuối cùng. 

Ta có:

Dạng 6: Tính tổng có dạng: S = 1²+ 2²+ 3²+ … + n²

Phương pháp giải:

S = 1²+ 2²+ 3²+ … + n²

S = 1.1 + 2.2 + 3.3 + … + n.n

S = 1.(2 - 1) + 2.( 3 - 1) + 3.(4 - 1) + … + n[(n + 1) - 1]

S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n(n + 1) - (1 + 2 + 3 + … + n)

Đến đây ta thấy:

A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n(n + 1)

B = 1 + 2 + 3 + … + n

=> S = A - B

Giải bài toán A (dạng 5) và B (dạng 1) ta sẽ có kết quả cho bài toán ở dạng 6 là

Dạng 7: Tính tổng có dạng S = 1²+ 3²+ 5²+ … + (2n - 1)²

Phương pháp giải:

* Cách 1:

S = 1²+ 3²+ 5²+ … + (2n - 1)²

S = 1²+ 2²+ 3²+ … + (2n)²- [2²+ 4²+ 6²+ … + (2n)²]

Ở đây ta thấy bài toán đã chuyển về bài toán ở dạng 6.

Cách 2: Tính S - n.

Ta chứng minh công thức sau: n²- 1 = n²- n + n - 1 = n(n - 1) + (n - 1) = (n - 1)(n + 1).

Ta có: S - n = (1²- 1) + (3²- 1) + (5²- 1) + … + [(2n - 1)2- 1].

Áp dụng CT đã chứng minh, ta có:

S - n = 0 + (3 - 1)(3 + 1) + (5 - 1)(5 + 1) + … + [(2n - 1) - 1][(2n - 1) + 1]

S - n = 2.4 + 4.6 + … + (2n - 2)2n 

Sau khi tính được S - n thì suy ra kết quả của S như dạng 5.

--------------------

Trên đây, Toploigiai đã tổng lợp các dạng toán tính tổng dãy số cách đều lớp 6 kèm theo ví dụ minh họa cho từng dạng. Nắm được những kiến thức này, chắc chắn bạn sẽ đạt kết quả cao trong các kì thi học sinh giỏi Toán. Chúc bạn học tốt!