Phương pháp xác định góc giữa hai đường thẳng trong không gian bằng véctơ

1. Góc giữa hai đường thẳng là gì?

Hai đường thẳng trong không gian có 4 vị trí tương đối: cắt nhau, song song, trùng nhau và chéo nhau.

- Trong trường hợp 2 đường thẳng song song hoặc trùng nhau thì góc của chúng bằng 0°.

- Trong trường hợp 2 đường thẳng cắt nhau sẽ tạo thành 2 cặp góc đối đỉnh (4 góc). Ta chọn góc không tù là góc giữa hai đường thẳng.

 Trong trường hợp 2 đường thẳng chéo nhau. Ta chọn một điểm bất kỳ trong không gian. Sau đó dựng lần lượt 2 đường thẳng song song với hai đường thẳng đã cho. Hai đường thẳng mới này cắt nhau. Và góc của chúng chính là góc giữa 2 đường thẳng đã cho. Lưu ý việc chọn điểm không ảnh hưởng tới số đo của góc.

2. Cách xác định góc giữa hai đường thẳng a và b

- Cách 1: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Từ 1 điểm trên đường thẳng a, ta kẻ a’ song song với b thì góc giữa a và b là góc nhọn giữa a’ và b.

- Cách 2: Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau, từ điểm I bất kì ta kẻ a’ // a, b’// b thì góc giữa a’ và b’ cũng là  góc giữa a và b.

3. Cách tính góc giữa hai đường thẳng

α là góc giữa hai đường thẳng a, b

– Nếu α ≤ 90º thì kết luận góc giữa a và b là α

– Nếu α > 90º thì kết luận góc giữa a và b là 180º - α

Cách 1: Ta dựng tam giác chứa góc và sử dụng định lí hàm số sin, cosin trong tam giác để tính.

Cách 2: Ứng dụng tích vô hướng để tính góc giữa a và b

Trong không gian Oxyz cho 2 đường thẳng a và b. Giả sử  véctơ u₁, u₂ lần lượt là 2 vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó.

Để tính góc của 2 đường thẳng trong không gian Oxyz, chúng ta so sánh góc của chúng với 2 vectơ chỉ phương của chúng. Ta có thể dễ dàng thấy góc giữa 2 đường thẳng bằng hoặc bù so với góc giữa hai vectơ chỉ phương. Do đó nếu gọi φ là góc giữa 2 đường thẳng. Thì ta có công thức tính giữa hai đường thẳng như sau:

Ví dụ 1:

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng

Tính  góc giữa hai đường thẳng đó.

Lời giải:

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Bài tập có lời giải chi tiết

Bài tập 1: 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Bài tập 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Bài tập 3. Phương trình của hai đường thẳng có dạng