Khối cầu là gì? Tính chất, diện tích, thể tích, bài tập vận dụng

Tổng hợp Khối cầu là gì? Tính chất, diện tích, thể tích, bài tập vận dụng hay nhất, bám sát nội dung sách giáo khoa do Top lời giải sưu tầm biên soạn, giúp bạn học tốt và nắm được.

1. Hình cầu

- Khối cầu được tạo bởi toàn bộ không gian tính từ mặt cầu đến tâm của nó.

- Thể tích khối cầu được hiểu là tất cả phần không gian của khối cầu hoặc phần không gian ở phía bên trong của mặt cầu.

- Khi quay một nửa hình tròn tâm O bán kính R một vòng quanh đường kính AB cố định ta được một hình cầu

- Nửa đường tròn trong phép quay nói trên tạo nên mặt cầu

- Điểm O được gọi là tâm, R là bán kính của hình cầu hay  mặt cầu đó

2. Tính chất

- Bất kỳ đường thẳng nào giao nhau với hình cầu và đi qua tâm của nó là trục đối xứng của hình. Xoay một quả cầu xung quanh trục này ở bất kỳ góc độ nào sẽ biến nó thành chính nó.

- Một mặt phẳng cắt hình đang nghi vấn thông qua tâm của nó chia hình cầu thành hai phần bằng nhau, nghĩa là mặt phẳng phản xạ.

3. Diện tích

- Mặt cầu có bán kính r có diện tích là:

- Công thức tính diện tích:

S=4πr² = πd²

Trong đó:

+ r là bán kính của khối cầu

+ d là đường kính của khối cầu

4. Thể tích

– Thể tích khối cầu sẽ được tính bằng bốn phần ba của tích số pi với lập phương bán kính của khối cầu.

- Với công thức như sau: V = 4/3.π.r³ Hoặc thể tích khối cầu sẽ được tính bằng công thức một phần sáu của tích số pi với lập phương của đường kính khối cầu.

- Với công thức như sau: V = 1/6.π.d³

- Trong đó: V chính là thể tích khối cầu (đơn vị là m3).

+ r là bán kính của khối cầu.

+ d là đường kính của khối cầu.

+ π chính là hằng số pi (với π = 3.14)

5. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho một hình cầu có bán kính từ tâm O dài 6cm. Hỏi diện tích của mặt cầu là bao nhiêu?

Giải:

- Áp dụng công thức trên, bạn có thể tính được diện tích mặt cầu như sau:

S = 4.π.r₂ = 4.π.62 = 114.π cm²

Bài 2: Hãy tính thể tích của khối cầu? Cho biết, khối cầu có đường kính d = 6 cm.

Giải:

- Bán kính r = d/2 = 6/2 =  3cm

- Áp dụng công thức tính thể tích khối cầu, ta có:

V = ⁴⁄₃πr³ = 4/3.3,14.(3)³ = 113,04 cm³

- Vậy, Thể tích khối cầu bán kính r cần tìm là 113,04 cm³

Bài 3: Một khối cầu có bán kính là R = 2 cm. Yêu cầu tính thể tích của mặt cầu?

Giải:

- Bán kính R = 2 cm = 0,02 m

- Áp dụng công thức tính thể tích khối cầu, ta có:

V = 1/3.π.r³ = 1/3.π.(0,02)³ = 8.π.10^-6 (m³)

- Vậy, thể tích khối cầu cần tìm là 8.π.10^-6 (m³)

Bài 4: Một quả cầu hình cầu được bơm phồng lên gấp 4 lần bán kính ban đầu của nó. Nếu bán kính ban đầu là 4cm, thì diện tích bề mặt tăng gấp 4 lần đúng hay sai?

Giải:

- Ta cần tính diện tích hình cầu ban đầu và diện tích khi bán kính tăng gấp 4 lần. Sau đó lấy tỉ lệ 2 kết quả này sẽ biết được đáp án là đúng hay sai.

- Ký hiệu Sbd là diện tích ban đầu hình cầu, S4 là diện tích khi bán kính tăng 4 lần.

- Ta có Sbd = 4π.r² = 4.π.4.4 = 64π

- S4 = 4π.(4r)² = 4π.(16)² = 1024π

 -S4/Sbd = 1024π / 64π = 16.

- Vậy thực tế khi bán kính tăng gấp 4 lần thì diện tích khối cầu tăng gấp 16 lần diện tích ban đầu.

Bài 5: Đường kính của mặt trăng xấp xỉ bằng 1/4 đường kính trái đất. Vậy thể tích của trái đất gấp bao nhiêu lần thể tích mặt trăng?

Giải:

- Đặt đường kính Trái đất là x và bán kính trái đất là = x/2

- Thể tích Trái đất = 4/3π (x/2)³

- Đường kính của mặt trăng = 1/4x = x/4

- Bán kính của mặt trăng = 1/2 × 1/4x = x/8

- Thể tích mặt trăng = 4/3π (x/8)³ Thể tích mặt trăng/Thể tích trái đất

= {4/3π(x/8)³ }/{4/3π (x/2)³ }

= (x/8)³/ (x/2)³ = x³/8³ × 2³/x³ = 2³/8³ = 1/64.

- Do đó, thể tích của mặt trăng là 1/64 Trái đất.

Bài 6: Một mặt cầu có đường kính là d = 1,5 cm. Hãy tính thể tích mặt cầu?

Giải:

Đường kính mặt cầu d = 1,5 cm => R = 0,75 cm = 7, 5.10 ^-3 (m). 

Thể tích mặt cầu sẽ là:

V = 1/3πR³ = 1/3π(7, 5.10 ^-3)³ = 4, 42.10 ^-6(m³)