Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn

Hình học luôn là môn học khó nhằn thử thách học sinh. Không chỉ có những số đo khó nhớ, hệ thống lý thuyết cũng vô cùng dày và rộng. Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn là những góc có đỉnh nằm ở bên trong của đường tròn, tương tự với góc bên ngoài. Và để hiểu rõ hơn về lý thuyết góc có đỉnh ở bên trong đường tròn, cùng Toploigiai đi ngay vào bài viết dưới đây.

1. Định nghĩa

Định nghĩa: Trong hình 11 , góc BIC nằm trong đường tròn (O) được gọi là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn.

Định lý: Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.

Hình vẽ: Góc ∠BEC là góc có đỉnh nằm ở bên trong đường tròn chắn hai cung là 

 + Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn là góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn và các cạnh đều có điểm chung với đường tròn.

+ Hai cung bị chắn là hai cung nằm bên trong góc, hình vẽ trên: Góc ∠BEC là góc có đỉnh nằm ở bên ngoài đường tròn chắn hai cung là 

+ Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.

Hay 

>>> Tham khảo: Trắc nghiệm phương trình tiếp tuyến của đường tròn

2. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Chứng minh hai góc hoặc hai đoạn thẳng bằng nhau. Tính góc và độ dài đoạn thẳng

Phương pháp:

+ Ta thường sử dụng các kiến thức về số đo của góc có đỉnh bên trong và bên ngoài đường tròn, góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung để chứng minh các góc bằng nhau

+ Sử dụng định lý Pytago, hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính toán.

Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vuông góc, chứng minh các hệ thức.

Phương pháp:

+ Ta thường sử dụng các kiến thức về số đo của góc có đỉnh bên trong và bên ngoài đường tròn, góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung để chứng minh các góc bằng nhau

+) Sử dụng quan hệ từ vuông góc đến song song.

3. Bài tập ví dụ

Bài 1: Cho ΔABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Vẽ phân giác trong AD của góc A (D ≠ (O)). Lấy điểm E thuộc cung nhỏ AC. Nối BE cắt AD và AC lần lượt tại I và tại K, nối DE cắt AC tại J. Chứng minh rằng:

a) ∠BID = ∠AJE .

b) AI.JK = IK.EJ.

Hướng dẫn giải

a) Ta có ∠BID là góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn (O) chắn hai cung BD và cung AE

∠AJE là góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn (O) chắn hai cung CD và AE

Mà AD là phân giác của góc A nên

Suy ra ∠BID = ∠ẠJE

b) Xét ΔAIK và ΔEJK có:

+) ∠AKI = ∠EKJ (đối đỉnh)

+) ∠IAK = ∠KEJ (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau BD và cung CD )

Do đó ΔAIK ∼ ΔEJK (g.g)

=> AI/EJ = IK/JK => AI.JK = IK.EJ

Bài 2: Cho đường tròn (O) và dây cung AB, CD cắt nhau tại điểm E nằm ngoài đường tròn. Đường thẳng kẻ từ E song song với AD cắt BC tại F. Kẻ tiếp tuyến FG với đường tròn (O). Chứng minh rằng:

b) ΔFEC ∼ ΔFBE, từ đó suy ra EF2 = FB.FC

Hướng dẫn giải

Gọi I là giao điểm AD và BC.

a) Vì AD // EF => ∠EFC = ∠AIB (đồng vị)

b) Ta có: ∠ABC = ∠ADC = 1/2 SđAC

Mà AD // EF => ∠ADC = ∠DEF (so le trong)

Do đó: ΔFEC ∼ ΔFBE

Do đó EF2 = FB.FC

Bài 3: Cho hai đường tròn (O) và (O’) ở ngoài nhau. Đường thẳng OO’ cắt (O) và (O’) lần lượt lại các điểm A, B, C, D. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài EF của hai đường tròn (E ≠ (O), F ≠ (O')) . Gọi M là giao điểm của AE và DF, N là giao điểm của EB và DC. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác MENF là hình chữ nhật.

b) MN ⊥ AD

c) ME.MA = MF.MD.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: ∠AEB = ∠CFD = 90o

Vì EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’) nên

OE ⊥ EF

OF' ⊥ EF

=> OE // OF'

=> ∠EOB = ∠FO'D (đồng vị)

=> ∠EAO = ∠FCO'

Do đó MA // FN, mà EB ⊥ MA => EB ⊥ FN.

Hay ∠FNB = 90o

Tứ giác MENF có ∠E = ∠N = ∠F = 90o nên là hình chữ nhật.

b) Gọi I là giao điểm của MN và EF, H là giao điểm của MN và AD. Vì tứ giác MENF là hình chữ nhật nên ∠IFN = ∠INF .

Mặt khác trong đường tròn (O’): ∠FDO = ∠IFN = 1/2Sđ FC.

Do đó: ∠FDC = ∠HNC

Suy ra: ΔFDC ∼ ΔHNC (g.g) => ∠NHC = ∠DFC = 90o hay MN ⊥ AD

c) Ta có: ∠MFE = ∠FEN (do MENF là hình chữ nhật).

Trong đường tròn (O): ∠FEN = ∠EAB = 1/2Sđ EB

Do đó:∠MFE = ∠EAB .

Suy ra: ΔMEF ∼ ΔMDA (g.g)

=> ME/MD = MF/MA => ME.MA = MF.MD

>>> Tham khảo: Cách biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác

----------------------------

Vậy là trên đây Toploigiai đã cùng các bạn đi tìm hiểu lý thuyết góc có đỉnh ở bên trong đường tròn. Chúng tôi còn triển khai thêm một số bài tập tự luận áp dụng lý thuyết và phương pháp giải. Hy vọng qua bài này, bạn có thể làm được những bài tập liên quan đến góc có đỉnh ở bên trong đường tròn.