Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu

Trong các bài toán về phương trình bậc hai, chúng ta thường gặp những bài toán cho ẩn tham số m để tìm nghiệm theo yêu cầu. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu là dạng bài thường gặp trong các đề thi. Cùng Toploigiai tìm ra phương pháp giải dạng toán này nhé!

Cách tính nghiệm của phương trình bậc hai

Phương trình bậc hai có dạng ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)

Số nghiệm của phương trình bậc hai được xác định như sau:

- Bước 1: Tính ∆ = b² – 4ac

- Bước 2: Xác định số nghiệm:

+ Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm

+ Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép x₁ = x₂ = -b/a

+ Nếu ∆ > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt: 

Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm trái dấu

Theo hệ thức Vi-et: Gọi S là tổng và P là tích của hai nghiệm x1, x2 ta có hệ thức:

Để phương trình có 2 nghiệm trái dấu thì P < 0 ⇔ x₁x₂ < 0 ⇔ a.c < 0

Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu

Bài toán 1: Tìm m để phương trình x²−5mx−3m+2=0 có hai nghiệm trái dấu.

Lời giải:

Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi:

a.c < 0 ⇔ 1.(−3m+2) < 0

⇔ m >2/3

Bài toán 2: Tìm m để phương trình 3x² + 7x – m² + 4m – 3 = 0 có hai nghiệm trái dấu

Lời giải:

Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi:

3.(– m² + 4m – 3) < 0

⇔ m² – 4m + 3 > 0

⇔ (m – 1).( m – 3) > 0

⇔ m < 1 hoặc m > 3.

Vậy để phương trình 3x² + 7x – m² + 4m – 3 = 0 có hai nghiệm trái dấu thì m < 1 hoặc m > 3

Bài toán 3: Cho phương trình bậc hai x² – mx – 1 = 0 (m là tham số). Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu.

Lời giải:

Ta có:  a.c = 1.(-1) < 0 với mọi m nên phương trình x² – mx – 1 = 0  luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi m.

Vậy phương trình có hai nghiệm trái dấu với mọi giá trị của tham số m.

Bài toán 4: Tìm m để phương trình (m²+1)x − 2(m+1)x + 2m − 1=0 có hai nghiệm trái dấu.

Lời giải:

Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi:

a.c<0
⇔ (m²+1)(2m−1) < 0

Vì (m²+1) luôn lớn hơn 0 ∀m) nên:

⇔2m − 1 < 0

⇔m < 1/2​
Vậy, với m < ½ thì phương trình có hai nghiệm trái dấu.

Bài tập tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu (file PDF) có lời giải

Tải về tại: Link