Giải và biện luận bất phương trình bậc 2 theo tham số m

Giải và biện luận bất phương trình bậc 2 theo tham số m

I. Cách giải và biện luận phương trình bậc 2

     Để giải và biện luận phương trình bậc 2, chúng ta tính Δ và dựa vào đó để biện luận. Chú ý rằng, trong thực tế chúng ta thường gặp bài toán tổng quát: Giải và biện luận phương trình ax²+bx+c=0 với hệ số a có chứa tham số. Lúc đó, quy trình giải và biện luận như sau.

Bài toán: Giải và biện luận phương trình ax²+bx+c=0 

Chúng ta xét 2 trường hợp chính:

1. Nếu a=0 thì phương trình ax²+bx+c=0 trở thành  bx+c=0

Đây chính là dạng phương trình bậc nhất ax+b=0 đã biết cách giải. Để giải và biện luận phương trình ax+b=0, ta xét hai trường hợp:

- Trường hợp 1. Nếu a≠0 thì phương trình đã cho là phương trình bậc nhất nên có nghiệm duy nhất

- Trường hợp 2. Nếu a=0 thì phương trình đã cho trở thành 0x+b=0, lúc này:

+ Nếu b=0 thì phương trình đã cho có tập nghiệm là R;

+ Nếu b≠0 thì phương trình đã cho vô nghiệm.

2. Nếu a≠0 thì phương trình đã cho là phương trình bậc hai có: ∆ = b² -4ac

Chúng ta lại xét tiếp 3 khả năng của Δ:

Δ<0: Phương trình vô nghiệm;

Δ=0: Phương trình có một nghiệm , x= -b/a đôi khi ta còn gọi là nghiệm kép;

Cuối cùng, chúng ta tổng hợp các trường hợp lại thành một kết luận chung.

II. Bài toán giải và biện luận bất phương trình bậc hai theo tham số m

Bài toán 1. Giải và biện luận các bất phương trình:
a. x² + 2x + 6m > 0.

b. 12x² + 2(m + 3)x + m ≤ 0.

Lời giải:​

a. Ta có thể trình bày theo các cách sau:

Cách 1: Ta có Δ' = 1 - 6m. Xét ba trường hợp:

⇒ nghiệm của bất phương trình là x < x₁ hoặc x > x₂.

Kết luận:

Cách 2: Biến đổi bất phương trình về dạng: (x + 1)2 > 1 - 6m.

Khi đó:

Vậy, nghiệm của bất phương trình là tập R\{-1}.

b. Với f(x) = 12x² + 2(m + 3)x + m, ta có a = 12 và Δ' = (m - 3)² ≥ 0.

Khi đó, ta xét hai trường hợp:

Xét hai khả năng sau:

- Khả năng 1: Nếu x₁ < x₂ ⇔ m < 3.

 Khi đó, ta có bảng xét dấu:

- Khả năng 2: Nếu x₁ > x₂ ⇔ m > 3.

Khi đó, ta có bảng xét dấu:

Kết luận:

Bài toán 2. Giải và biện luận bất phương trình: (m - 1)x² - 2(m + 1)x + 3(m - 2) > 0. (1)

Lời giải​

Xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: Nếu m – 1 = 0 ⇔ m = 1, khi đó: (1) ⇔ – 4x - 3 > 0 ⇔ x < - 3/4.

Trường hợp 2: Nếu m – 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1.

Ta có: a = m – 1, Δ’ = (m + 1)² - 3(m – 2)(m – 1) = -2m² + 11m – 5.

Bảng xét dấu:

Kết luận:

 + Với m ≤ 1/2, thì (1) vô nghiệm.

 + Với 1/2 < m < 1, nghiệm của (1) là x₂ ≤ x ≤ x1.

 + Với 1 < m < 5, nghiệm của (1) là x < x₁ hoặc x > x₂.

 + Với m > 5, thì (1) đúng với ∀x ∈ R.