Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Tổng hợp công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng đầy đủ hay nhất. Giúp các em có thể nắm vững kiến thức về khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. Hãy cùng thầy Phú toploigiai khám phá và tìm hiểu những kiến thức bổ ích qua bài viết chi tiết dưới đây!

1. Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong mặt phẳng

Giả sử phương trình đường thẳng có dạng tổng quát là Δ: Ax + By + C = 0 và điểm N( x₀; y₀). Khi đó khoảng cách từ điểm N đến đường thẳng Δ là:

Cho điểm M( x_M; y_N) và điểm N( x_N; y_N) . Khoảng cách hai điểm này là:

Chú ý: Trong trường hợp đường thẳng Δ chưa viết dưới dạng tổng quát thì đầu tiên ta cần đưa đường

Ví dụ:

2. Công thức tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng trong không gian Oxyz

Giả sử đường thẳng Δ có phương trình dạng Ax + By + Cz + d = 0 và điểm N( x_N; y_N; z_N). Hãy xác định khoảng cách từ N tới Δ?

Phương pháp

Ví dụ 1: 

Lời giải

+ Ta đưa đường thẳng d về dạng tổng quát:

⇒ Phương trình ( d) : 4( x - 1) – 3( y - 2) = 0 hay 4x - 3y + 2 = 0

+ Khoảng cách từ điểm M đến d là:

Ví dụ 2: Hai cạnh của hình chữ nhật nằm trên hai đường thẳng d₁ : 4x - 3y + 5 = 0 và d₂: 3x + 4y – 5 = 0, đỉnh A( 2; 1). Tính diện tích của hình chữ nhật.

Lời giải

+ Nhận xét : điểm A không thuộc hai đường thẳng trên.

⇒ Độ dài hai cạnh kề của hình chữ nhật bằng khoảng cách từ A(2; 1) đến hai đường thẳng trên, do đó diện tích hình chữ nhật bằng

Ví dụ 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(3; -4); B(1; 5) và C(3;1) . Tính diện tích tam giác ABC.

Lời giải

Ví dụ 4. 

 Hãy tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng.

Lời giải

Ví dụ 5. Tính khoảng cách từ giao điểm của hai đường thẳng (a): x - 3y + 4 = 0 và
(b): 2x + 3y - 1 = 0 đến đường thẳng ∆: 3x + y + 16 = 0.

Lời giải

Gọi A là giao điểm của hai đường thẳng ( a) và ( b) tọa độ điểm A là nghiệm hệ phương trình :