Bài 20 trang 64 SGK Toán 7 tập 2

Bài 3: Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác. Bất đẳng thức tam giác

Bài 20 (trang 64 SGK Toán 7 tập 2)

Một cách chứng minh khác của bất đẳng thức tam giác:

Cho tam giác ABC. Giả sử BC là cạnh lớn nhất. Kẻ đường vuông góc AH đến đường thẳng BC (H thuộc BC).

a) Dùng nhận xét về cạnh lớn nhất trong tam giác vuông ở Bài 1 để chứng minh AB + AC > BC.

b) Từ giả thiết về cạnh BC, hãy suy ra hai bất đẳng thức tam giác còn lại.

Lời giải:

a) Ta chứng minh H nằm giữa B và C.

Thật vậy: giả sử H nằm ngoài cạnh BC.

Giả sử B nằm giữa H và C

Xét tam giác ABC có cạnh AC đối diện với góc B

⇒ cạnh AC lớn nhất (cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất). Điều này trái với giả thiết BC lớn nhất.

Tương tự giả sử C nằm giữa B và H cũng trái với giả thiết BC là cạnh lớn nhất.

Vậy H phải nằm giữa B và C.

⇒ HB + HC = BC.

- Xét ∆AHC vuông tại H có AC là cạnh đối diện với góc H

⇒ cạnh AC là cạnh lớn nhất (cạnh đối diện với góc vuông hoặc góc tù trong tam giác là cạnh lớn nhất) ⇒ AC > HC (1)

Chứng minh tương tự ta có AB > BH (2)

Cộng vế với vế 2 bất đẳng thức (1) và (2) ta có

HB + HC < AC + AB

hay BC < AC + AB (vì HB + HC = BC)

b) BC là cạnh lớn nhất nên suy ra AB < BC và AC < BC

⇒ AB < BC + AC ; AC < BC + AB.

Xem toàn bộ Giải Toán 7: Luyện tập trang 63-64