Câu 10 trang 46 SGK Giải tích 12:
Cho hàm số y = -x4 + 2mx2 - 2m + 1 (m tham số)
có đồ thị là (Cm).
a) Biện luận theo m số cực trị của hàm số.
d) Với giá trị nào của m thì (Cm) cắt trục hoành?
c) Xác định để (Cm) có cực đại, cực tiểu.
Lời giải:
Kiến thức áp dụng
- Số cực trị của hàm số là số nghiệm của phương trình: y′=0. Biện luận số cực trị của hàm số tức là biện luận số nghiệm của phương trình y′=0.
- (Cm) cắt trục hoành ⇔ phương trình y = f(x) = 0 có nghiệm.
- Hàm số có cực đại và cực tiểu ⇔ phương trình y′=f′(x)=0 có 3 nghiệm phân biệt.
a) y' = -4x3 + 4mx = 4x(m - x2)
y' = 0 ⇔ 4x(m - x2) = 0 ⇔
y’’ = -12x2 + 4m.
- Nếu m ≤ 0, phương trình y’ = 0 có nghiệm duy nhất x = 0.
Mà y’’(0) = 4m < 0
⇒ x = 0 là điểm cực đại và là cực trị duy nhất của hàm số.
- Nếu m > 0 thì phương trình (2) có 3 nghiệm
⇒ hàm số có 3 cực trị.
b) – Xét m ≤ 0, phương trình y’ = 0 có nghiệm duy nhất x = 0.
Ta có bảng biến thiên :
(Cm) cắt trục hoành ⇔ 1 – 2m ≥ 0
⇔ m ≤ (thỏa mãn với mọi m ≤ 0) (1)
- Xét m > 0, phương trình y’ = 0 có 3 nghiệm 0 ;
Ta có bảng biến thiên :
(Cm) cắt trục hoành ⇔ (m – 1)2 ≥ 0 (thỏa mãn với mọi m) (2)
Kết hợp (1) và (2) suy ra (Cm) cắt trục hoành với mọi m ∈ R.
c) Dựa vào bảng biến thiên phần b) ta có :
(Cm) có cực đại, cực tiểu ⇔ m > 0