Câu 7 trang 45-46 SGK Giải tích 12:
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = x3 + 3x2 + 1
b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận số nghiệm phương trình sau theo m: x3 + 3x2 + 1 = m/2
c) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị (C).
Lời giải:
Kiến thức áp dụng
- Khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số qua các bước đã học.
-Số nghiệm của phương trình f(x) = là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và đường thẳng y = . Dựa vào đồ thị để biện luận số nghiệm
- Xác định tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Viết pt đường thẳng AB đi qua 2 điểm A, B ta làm như sau:
+ Tìm tọa độ suy ra tọa độ VTPT của đt.
+ Viết pt đường thẳng theo công thức a(x−x0) + b(y−y0) = 0
a) Khảo sát hàm số y = x3 + 3x2 + 1
- TXĐ: D = R
- Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:
y' = 3x2 + 6x = 3x(x + 2)
y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = -2
+ Giới hạn:
+ Bảng biến thiên:
Kết luận:
Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; -2) và (0; +∞).
Hàm số nghịch biến trên khoảng (-2; 0).
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 ; yCT = 1.
Hàm số đạt cực đại tại x = -2 ; yCĐ = 5.
- Đồ thị:
+ Giao với Oy: (0; 1).
+ Đồ thị (C) đi qua điểm (–3; 1), (1; 5).
b) Số nghiệm của phương trình x3 + 3x2 + 1 = m/2 bằng số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng y = m/2.
Từ đồ thị ta có:
⇒ Đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại 1 điểm
⇒ phương trình có 1 nghiệm.
⇒ Đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm
⇒ Phương trình có hai nghiệm.
+ Với ⇔ 2 < m < 10.
⇒ Đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm
⇒ Phương trình có ba nghiệm phân biệt.
c) Điểm cực đại A(-2; 5) và điểm cực tiểu B(0; 1).
⇒ vtcp của đường thẳng AB:
⇒ vtpt của AB:
⇒ Phương trình đường thẳng AB: 2x + y – 1 = 0.