Bài 6 trang 107 SGK Đại số 11
Cho dãy số (un) biết u1 = 2, un+ 1 = 2un – 1 (với n ≥ 1)
a. Viết năm số hạng đầu của dãy.
b. Chứng minh un = 2n-1 + 1 bằng phương pháp quy nạp.
Lời giải
Hướng dẫn
a) Thay lần lượt n=1,2,3,4,5 để tìm 5 số hạng đầu tiên của dãy số.
b) Sử dụng phương pháp quy nạp toán học.
a. 5 số hạng đầu dãy là:
u1 = 2;
u2 = 2u1 – 1 = 3;
u3 = 2u2 – 1 = 5;
u4 = 2u3 – 1 = 9;
u5 = 2u4 – 1 = 17
b. Chứng minh un = 2n – 1+ 1 (1)
+ Với n = 1 ⇒ u1 = 21 - 1 + 1 = 2 (đúng).
+ Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1, tức là uk = 2k-1 + 1 (1)
⇒ uk+1 = 2.un – 1 = 2(2k-1 + 1) – 1 = 2.2k – 1 + 2 – 1 = 2k + 1
⇒ (1) cũng đúng với n = k + 1 .
Vậy un = 2n – 1 + 1 với mọi n ∈ N.
Xem toàn bộ Giải Toán 11: Ôn tập chương 3