Bài 5 trang 107 SGK Đại số 11

Ôn tập chương 3

Bài 5 trang 107 SGK Đại số 11

Chứng minh với mọi n ∈ N*, ta có:

a. 13ⁿ – 1 chia hết cho 6

b. 3n³+ 15 chia hết cho 9

Lời giải

Chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

a. Đặt u_n = 13ⁿ– 1

+ Với n = 1 thì u1 = 13 – 1 = 12 chia hết 6

+ Giả sử: u_k = 13^k – 1 chia hết cho 6.

⇒ u_{k + 1} = 13^{k + 1} – 1

              = 13^k+1 + 13^k – 13^k – 1

              = 13^k(13 – 1) + 13^k – 1

              = 12.13^k + u_k.

Mà 12.13^k ⋮ 6; u_k ⋮ 6.

⇒ u_{k + 1} ⋮ 6.

⇒ u_n ⋮ 6 với mọi n ∈ N.

hay 13n – 1 ⋮ 6 với mọi n ∈ N.

b. Đặt u_n = 3n³+ 15n

+ Với n = 1 ⇒ u₁ = 18 ⋮ 9.

+ Giả sử với n = k ≥ 1 ta có: u_k = (3k² + 15k) ⋮ 9

⇒ u_k+1 = 3(k + 1)³ + 15(k + 1 )

              = 3(k³ + 3k² + 3k + 1) + 15k + 15

              = (3k³ + 15k) + 9k² + 9k + 18

              = (3k³ + 15) + 9(k² + k + 2)

              = u_k + 9(k² + k + 2)

Mà u_k ⋮ 9 và 9(k² + k + 2) ⋮ 9

⇒ u_{k + 1} ⋮ 9.

Vậy u_n = 3n³ + 15n ⋮ 9 ∀n ∈ N*

Xem toàn bộ Giải Toán 11: Ôn tập chương 3