Bài 2 trang 125 SGK Hình học 11

Bài tập ôn tập cuối năm

Bài 2 trang 125 SGK Hình học 11

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi G và H tương ứng là trọng tâm và trực tâm của tam giác, các điểm A', B',C' lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB.

(a) Tìm phép vị tự F biến A, B, C tương tứng thành A', B',C'

(b) Chứng minh rằng O, G, H thẳng hàng.

(c) Tìm ảnh của O qua phép vị tự F

(d) Gọi A'', B'',C'' lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AH, BH, CH; A₁, B₁,C₁ theo thứ tự là giao điểm thứ hai của các tia AH, BH, CH với đường tròn (O); A'₁, B'₁,C'₁ tương ứng là chân các đường cao đi qua A, B, C. Tìm ảnh của A, B, C, A₁, B₁, C₁ qua phép vị tự tâm H tỉ số .

(e) Chứng minh chín điểm A', B',C',A'', B'',C'',A'₁, B'₁, C'₁ cùng thuộc một đường tròn (đường tròn này gọi là đường tròn Ơ-le của tam giác ABC)

Lời giải

a) Ta có:

Vậy phép vị tự tâm G tỉ số  biến A, B, C thành A′, B′, C′

b) A’ là trung điểm của dây BC nên OA′ ⊥ BC

Ta có: BC // C′B′ ⇒ OA′ ⊥ B′C′

Suy ra, trong tam giác A’B’C’ thì OA’ là đường cao kẻ từ A’.

Tương tự, OB’ là đường cao kẻ từ B’, suy ra O là trực tâm của tam giác A′B′C′.

H là trực tâm của tam giác ABC và O là trực tâm của tam giác A’B’C’ nên O là ảnh của H trong phép vị tự tâm G tỉ số 

Suy ra 

Do vậy, ba điểm O, G, H thẳng hàng.

c) Gọi O’ là ảnh của O trong phép vị tự F_(G;−1/2) ta có:

Đẳng thức này chứng tỏ điểm O’ là trung điểm của đoạn thẳng OH.

d) Gọi A′′, B′′, C′′ lần lượt là trung điểm của AH ,BH ,CH ta có:

Vậy A′′, B′′, C′′ là ảnh của các điểm A, B, C trong phép vị tự V_(H;1/2)

Ta dễ dàng chứng minh được A′₁, B′₁, C′₁ theo thứ tự là trung điểm của HA₁, HB₁, HC₁ nên 

Như vậy A′₁, B′₁, C′₁ theo thứ tự là ảnh của các điểm A₁, B₁, C₁

e) Gọi A₂, B₂, C₂ lần lượt là điểm đối xứng của A, B, C qua O.

Ta dễ dàng chứng minh được: BHCA₂, AHCC₂, CHAB₂ là các hình bình hành.

Nên A′ là trung điểm HA₂; B′ là trung điểm HB₂, C′ là trung điểm HC₂.

Khi đó:

Hay A′, B′, C′ là ảnh của A₂, B₂, C₂ qua phép vị tự V_(H;1/2)

Từ đó 9 điểm A′, B′, C′, A′′, B′′, C′′, A′₁, B′₁, C′₁ lần lượt là ảnh của A₂, B₂, C₂, A, B, C, A₁, B₁, C₁ qua phép vị tự V_(H;1/2)

Mà A₂, B₂, C₂, A, B, C, A₁, B₁, C₁ thuộc đường tròn (O) nên A′, B′, C′, A′′, B′′, C′′, A′₁, B′₁, C′₁ thuộc đường tròn (O₁) với O₁ là ảnh của O qua phép vị tự V_(H;1/2).

Xem toàn bộ Giải Toán 11: Bài tập ôn tập cuối năm