Bài 2 trang 119 SGK Hình học 11

Bài 5: Khoảng cách

Bài 2 trang 119 SGK Hình học 11

Cho tứ diện S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H , K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và SBC.

a) Chứng minh ba đường thẳng AH, SK, BC đồng quy.

b) Chứng minh rằng SC vuông góc với mặt phẳng (BHK) và HK vuông góc với mặt phẳng (SBC).

c) Xác định đường vuông góc chung của BC và SA.

Lời giải

a) Chứng minh AH, AK, BC đồng quy:

Gọi AA’ là đường cao của ABC thì H ∈ AA’

=> BC ⊥ SA’

Vậy SA’ là đường cao của ΔSBC nên K ∈ SA’

Do đó  AH, SK, BC đồng quy tại A’

b) Chứng minh SC ⊥ (BHK), HK ⊥ (SBC).

Vì H là trực tâm của ABC nên BH ⊥ AC, mà AC là hình chiếu của SC trên (ABC) nên BH ⊥ SC.

Vậy SC ⊥ BH, SC ⊥ BK nên SC ⊥ (BHK)

Vậy (BHK) và (SAA’) cùng vuông góc với (SBC) nên giao tuyến của chúng là HK cũng vuông góc với (SBC).

c) Xác định đường vuông góc chung của BC, SA.

Ta có AA’ ⊥ BC tại A’. Do SA ⊥ (ABC) nên AA’ ⊥ SA tại A.

=> AA’ là đường vuông góc chung của BC và SA.

Xem toàn bộ Giải Toán 11: Bài 5. Khoảng cách