Ôn tập chương 1 - Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Ôn tập chương I

Bài 80 trang 119 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Hãy tính sin α và tg α nếu:

a. cos α = 5/13    

b. cos α = 15/17    

c. cos α = 0,6

Lời giải:

 

Bài 81 trang 119 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:

Hãy đơn giản các biểu thức:

a. 1 – sin²α    

b. (1 - cos α)(1 + cos α)

c. 1 + sin²α + cos²α    

d. sin α - sin α cos²α

e. sin⁴α + cos⁴α + 2sin²α cos²α    

g. tg²α – sin²α tg²α

h. cos²α + tg²α cos²α    

i. tg²α.(2cos²α + sin²α – 1)

Lời giải:

a. 1 – sin²α = (sin²α + cos²α) – sin²α

= sin²α + cos²α – sin²α = cos²α

b. (1 - cos α)(1 + cos α) = 1 – cos²α = (sin²α + cos²α) – cos²α

= sin²α + cos²α – cos²α = sin²α

c. 1 + sin²α + cos²α = 1 + (sin²α + cos²α) = 1 + 1 = 2

d. sin α - sin α cos²α = sin α(1 – cos²α)

= sin α[(sin²α + cos²α) – cos²α]

= sin α.(sin²α + cos²α – cos²α)

= sin α.sin²α = sin³α

e. sin⁴α + cos⁴+ 2sin²α cos²α = (sin²α + cos²α)²α = 12 = 1

g. tg²α – sin²α tg²α = tg²α (1 – sin²α)

= tg²α [(sin²α + cos²α) – sin²α]

= tg²α.cos²α = (sin²α)/(cos²α) .cos²α = sin²α

h. cos²α + tg²α cos²α = cos²α + (sin²α)/(cos²α) .cos²α = cos²α + sin²α = 1

i. tg²α.(2cos²α + sin²α – 1) = tg²α.[cos²α + (cos²α + sin²α) – 1]

= tg²α.(cos²α + 1 – 1) = tg²α.cos²α

= (sin²α)/(cos²α) .cos²α = sin²α

Bài 82 trang 120 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Trong một tam giác với các cạnh có độ dài 6, 7, 9, kẻ đường cao đến cạnh lớn nhất. Hãy tìm độ dài đường cao này và các đoạn thẳng mà nó định ra trên cạnh lớn nhất đó.

Lời giải:

Gọi độ dài đường cao là c, hình chiếu của hai cạnh 6 và 7 trên cạnh có độ dài bằng 9 lần lượt là a và b.

Ta có: a < b (vì 6 < 7)

Theo định lí Pi-ta-go, ta có:

c² = 6² – a²

c² = 7² – b²

Suy ra: 36 – a² = 49 – b²

⇔ b² – a² = 49 – 36

⇔ (b + a)(b – a) = 13 (*)

Mà x + y = 9 nên:

Bài 83 trang 120 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Hãy tìm độ dài cạnh đáy của một tam giác cân, nếu đường cao kẻ xuống đáy có độ dài là 5 và đường cao kẻ xuống cạnh bên có độ dài là 6.

Lời giải:

Bài 84 trang 120 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Tam giác ABC vuông tại A, AB = a, AC = 3a. Trên cạnh AC lấy các điểm D, E sao cho AD = DE = EC

a. Chứng minh DE/DB = DB/DC

b. Chứng minh tam giác BDE đồng dạng tam giác CDB

c. Tính tổng bằng 2 cách:

Cách 1: Sử dụng kết quả ở câu b

Cách 2: Dùng máy tính bỏ túi hoặc bảng lượng giác.

Lời giải:

Bài 85 trang 120 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Tính góc α tạo bởi hai mái nhà, biết rằng mỗi mái nhà dài 2,34m và cao 0,8m

Lời giải:

Hai mái nhà bằng nhau tạo thành hai cạnh của một tam giác cân. Chiều cao của mái nhà chia góc ở đỉnh ra thành hai phần bằng nhau.

Bài 86 trang 120 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Cho hình bên.

Biết AD ⊥ DC, , AD = 2,8cm, AX = 5,5cm, BX = 4,1cm.

Tính AC

Gọi Y là điểm trên AX sao cho DY // BX. Hãy tính XY

Tính diện tích tam giác BCX

Lời giải:

Bài 87 trang 120 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Tam giác ABC có  , AB = 60cm. Đường vuông góc kẻ từ C đến AB cắt AB tại P. Hãy tìm:

a. CP    

b. AP, BP

Lời giải:

b. Thay CP = 13,394 vào (1) ta có:

AP = 13,394.cotg20^o ≈ 36,801 (cm)

Thay CP = 13,394 vào (2) ta có:

BP = 13,394.cotg30^o ≈ 27,526 (cm)

Bài 88 trang 121 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Điểm hạ cánh của một máy bay trực thăng ở giữa hai người quan sát A và B. Biết khoảng cách giữa hai người này là 300m, góc “nâng” để nhìn thấy máy bay tại vị trí A là 40^o và tại vị trí B là 30^o (hình bên). Hãy tìm độ cao của máy bay.

Lời giải:

Gọi C là vị trí của máy bay.

Kẻ CH ⊥ AB

Trong tam giác vuông ACH, ta có:

AH = CH.cotg (1)

Trong tam giác vuông BCH, ta có:

BH = CH.cotg (2)

Từ (1) và (2) suy ra: (AH + BH) = CH.cotg + CH.cotg

Suy ra: CH =  ≈ 102,606 (cm)

Bài 89 trang 121 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Cho hình thang với đáy nhỏ là 15cm, hai cạnh bên bằng nhau và bằng 25cm, góc tù bằng 120^o. Tính chu vi và diện tích hình thang đó.

Lời giải:

Giả sử hình thang ABCD có đáy nhỏ AB = 15cm, cạnh bên AD = BC = 25cm,

Mà ΔADH = ΔBCK (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

Suy ra: DH = CK = 12,5 (cm)

Chu vi hình thang ABCD là:

AB + BC + CD + DA = AB + BC + (CK + KH + HD) + DA

= 15 + 25 + (12,5 + 15 + 12,5) + 25 = 105 (cm)

Chu vi hình thang ABCD là:

Bài 90 trang 121 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Cho tam giác ABC vuông ở A, AB = 6cm, AC = 8cm.

a. Tính BC, góc B , góc C

b. Phân giác của góc A cắt BC ở D. Tính BD, CD

c. Từ D kẻ DE và DF lần lượt vuông góc với AB và AC. Tứ giác AEDF là hình gì? Tính chu vi và diện tích tứ giác AEDF

Lời giải:

a. Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC ta có:

BC² = AB² + AC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100 (cm)

Suy ra: BC = √100 = 10 (cm)

Ta có: sinC = AB/BC = 6/10 = 0,6

Nên tứ giác AFDE là hình vuông

* Vì DE ⊥ AB, AC ⊥ AB nên DE // AC

Theo định lí Ta-lét ta có: CD/BC = AE/AB

Bài 91 trang 121 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Cho hình thang ABCD có hai cạnh bên là AD và BC bằng nhau, đường chéo AC vuông góc với cạnh bên BC

Biết AD = 5a, AC = 12a

a. Tính sin⁡ 

b. Tính chiều cao của hình thang ABCD

Lời giải:

a. Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC ta có:

AB² = BC² + AC² = (5a)² + (12a)² = 169a²

Bài 92 trang 121 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Cho tam giác ABC, AB = AC = 10cm, BC = 16cm. Trên đường cao AH lấy điểm I sao cho AI = (1/3).AH. Vẽ tia Cx song song với AH, Cx cắt tia BI tại D

a. Tính các góc của tam giác ABC

b. Tính diện tích tứ giác ABCD

Lời giải:

a. Ta có: AH ⊥ BC, suy ra: HB = HC = BC/2 = 8 (cm)

Trong tam giác vuông ABH, ta có:

b. Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABH ta có:

AB² = AH² + BH² ⇒ AH² = AB² – BH²= 10² – 8² = 36

Suy ra: AH = 6 (cm)

Suy ra: IH = AH – AI = 6 – 2 = 4 (cm)

Vì IH ⊥ BC và DC ⊥ BC nên IH // DC    (1)

Mặt khác: BH = HC (gt)     (2)

Từ (1) và (2) ta có IH là đường trung bình của tam giác BCD

Bài 93 trang 121 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Cho tam giác ABC, biết AB = 21cm, AC = 28cm, BC = 35cm.

a. Chứng minh tam giác ABC vuông

b. Tính sin , sin

Lời giải:

a. Ta có: AB²= 21²= 441

AC² = 28² = 784

BC² = 35² = 1225

Vì AB² + AC² = 441 + 784 = 1225 = BC² nên tam giác ABC vuông tại A (theo định lí đảo Pi-ta-go)

b. Ta có: sin= AC/BC = 28/35 = 0,8

sin = AB/BC = 21/35 = 0,6

Bài 94 trang 122 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Cho hình thang ABCD. Biết hai đáy AB = a và CD = 2a, cạnh bên AD = a, góc A = 90^o

a. Chứng minh tg = 1

b. Tính tỉ số diện tích tam giác BCD và diện tích hình thang ABCD

c. Tính tỉ số diện tích tam giác ABC và diện tích tam giác BCD

Lời giải:

a. Kẻ BH ⊥ CD

Ta có: AB // CD và góc A = 90^o

Suy ra:góc D = 90^o

Tứ giác ABHD có 3 góc vuông và AB = AD = a nên là hình vuông

Suy ra: DH = BH = AB = a

Ta có: CD = DH + HC

Suy ra: HC = CD – DH = 2a – a = a

Vậy tg = BH/CH = aa = 1

Bài 95 trang 122 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Cho tam giác ABC có góc B bằng 120^o, BC = 12cm, AB = 6cm. Đường phân giác của góc B cắt cạnh AC tại D.

a. Tính độ dài đường phân giác BD

b. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM ⊥ BD

Lời giải:

Suy ra tam giác ABE đều ⇒ AB = BE = EA = 6 (cm)     (1)

Khi đó: CE = BC + BE = 12 + 6 = 18 (cm)

Tam giác ACE có AE // BD nên suy ra:

Từ (1) và (2) suy ra: BM = AB ⇒ ΔABM cân tại B

Tam giác cân ABM có BD là đường phân giác nên đồng thời nó cũng là đường cao (tính chất tam giác cân). Vậy BD ⊥ AM

Bài 96 trang 122 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH chia cạnh huyền BC thành hai đoạn BH, CH có độ dài lần lượt là 4cm, 9cm. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC.

a. Tính độ dài đoạn thẳng DE

b. Các đường thẳng vuông góc với DE tại D và tại E lần lượt cắt BC tại M và N. Chứng minh M là trung điểm của BH và N là trung điểm của CH

c. Tính diện tích tứ giác DENM

Lời giải:

Tứ giác ADHE có 3 góc vuông nên nó là hình chữ nhật

Suy ra: AH = DE (tính chất hình chữ nhật)

Tam giác ABC vuông tại A và có AH là đường cao

Theo hệ thức giữa đường cao và hình chiếu ta có:

AH² = HB.HC = 4.9 = 36 ⇒ AH = 6 (cm)

Vậy DE = 6 (cm)

*Gọi G là giao điểm của AH và DE

Ta có: GA = GD = GH = GE (tính chất hình chữ nhật)

Suy ra tam giác GHD cân tại G

Suy ra tam giác NCE cân tại N ⇒ NC = NE     (16)

Từ (13) và (16) suy ra: NC = NH hay N là trung điểm của CH.

c. Tam giác BDH vuông tại D có DM là đường trung tuyến nên:

Bài 97 trang 122 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Cho tam giác ABC vuông ở A, góc C = 30^o, BC = 10cm

a. Tính AB, AC

b. Từ A kẻ AM, AN lần lượt vuông góc với các đường phân giác trong và ngoài của góc B. Chứng minh MN // BC và MN = AB

c. Chứng minh hai tam giác MAB và ABC đồng dạng. Tìm tỉ số đồng dạng

Lời giải:

a. Trong tam giác vuông ABC, ta có:

Suy ra: MN // BC (có cặp góc so le trong bằng nhau)

Vì AMBN là hình chữ nhật nên AB = MN

Bài 98 trang 122 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 4,5cm, BC = 7,5cm.

a. Chứng minh tam giác ABC vuông ở A. Tính các góc B , C và đường cao AH của tam giác

b. Tìm tập hợp các điểm M sao cho S_ABC= S_BMC

Lời giải:

a. Ta có: AB²= 6²= 36

AC² = 4,52 = 20,25

BC² = 7,52 = 56,25

Vì AB² + AC² = 36 + 20,25 = 56,25 = BC² nên tam giác ABC vuông tại A (theo định lí đảo Pi-ta-go)

Kẻ AH ⊥ BC

Ta có: AH.BC = AB.AC

b. Tam giác ABC và tam giác MBC có chung cạnh đáy BC, đồng thời S_ABC= S_MBCnên khoảng cách từ M đến BC bằng khoảng cách từ A đến BC. Vậy M thay đổi cách BC một khoảng bằng AH nên M nằm trên hai đường thẳng x và y song song với BC cách BC một khoảng bằng AH.

Bài 99 trang 122 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Gọi AM, BN, CL lần lượt là ba đường cao của tam giác ABC. Chứng minh:

a. Tam giác ANL và tam giác ABC đồng dạng

b. AN.BL.CM = AB.BC.CA.

Lời giải:

a. Xét hai tam giác BNA và CLA, ta có:

 chung

Suy ra ΔBNA đồng dạng ΔCLA (g.g)

Suy ra: AL/AN = AC/AB ⇒ AL/AC = AN/AB

Xét hai tam giác ABC và ANL, ta có:

AL/AC = AN/AB

 chung

Suy ra ΔABC đồng dạng ΔANL (c.g.c)

b. ΔABN vuông tại N nên AN = AB.cos (1)

ΔBCL vuông tại L nên BL = BC.cos     (2)

ΔACM vuông tại M nên CM = AC.cos     (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: AN.BL.CM = AB.BC.CA. cos cos cos

Bài 1 trang 123 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Tam giác ABC có A ̂ = 105^o, B ̂ = 45^o, BC = 4cm. Tính độ dài các cạnh AB, AC.

Lời giải:

Vẽ đường cao AH. Đặt BH = x, CH = y thì do H nằm giữa B và C (hai góc ∠B, ∠C là góc nhọn) suy ra x + y = 4 (xem h.bs.18).

Ta có BH = AH = HC.tg30^o nên x – y.tg30^o = y/√3.

AC = 2AH ≈ 1,46. 2 = 2,92 (cm).

Bài 2 trang 123 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, CD. Tính cos(MAN).

Lời giải:

Kẻ đường cao MH của tam giác cân AMN. Ta có sin ∠(NAM) = HM/AM và diện tích tam giác AMN là S_AMN = 1/2AN.MH = 1/2AN.AM.sin(NAM) = 1/2 AN².sin(NAM) = 1/2(AD² + DN²). sin(NAM) = (5a²)/2 sin(NAM).

Bài 3 trang 123 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao BH. Hãy tính góc A và các cạnh AB, BC, nếu biết BH = h, ∠C = α.

Lời giải:

∠A = 180^o - 2α. Tam giác vuông HBC có BC = h/sinα. Kẻ đường cao AI của tam giác ABC thì được

Bài 4 trang 123 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Hình bình hành ABCD có ∠A = 120^o, AB = a, BC = b. Các đường phân giác của bốn góc A, B, C, D cắt nhau tạo thành tứ giác MNPQ. Tính diện tích tứ giác MNPQ.

Lời giải:

Đường phân giác của góc A cắt đường phân giác của góc D tại M thì tam giác ADM có hai góc bằng 60^o và 30^o nên các đường phân giác đó vuông góc với nhau. Lập luận đó chứng tỏ hình MNPQ có 4 góc vuông nên MNPQ là hình chữ nhật.

Trong tam giác vuông ADM có

DM = AD.sin(DAM) ̂ = b.sin60^o = (b√3)/2.

Trong tam giác vuông DCN (N là giao điểm của đường phân giác góc D và đường phân giác góc C) có DN = DCsin(DCN) = a.sin60^o = (a√3)/2.

Vậy MN = DN – DM = (a – b).√3/2.

Trong tam giác vuông DCN có CN = CD.cos60^o = a/2. Trong tam giác vuông BCP (P là giao của đường phân giác góc C với đường phân giác góc B) có CP = CB.cos60^o = b/2. Vậy NP = CN – CP = (a-b)/2.

Suy ra diện tích hình chữ nhật MNPQ là:

MN x NP = (a-b)² √3/4.

Bài 5 trang 123 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Cho tam giác ABC vuông tại C có ∠B = 37^o. Gọi I là giao điểm của cạnh BC với đường trung trực của AB. Hãy tính AB, AC nếu biết BI = 20.

Lời giải:

Gọi H là trung điểm của AB thì trong tam giác vuông HBI, ta có HB = IB.cosB nên AB = 2HB = 2IB.cosB = 40cos37^o ≈ 31,95.

Trong tam giác vuông ABC, ta có: AC = AB.sinB = 31,95.sin37^o ≈ 19,23.