Bài 2. Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Bài 2. Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Bài 21 trang 106 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Vẽ một tam giác vuông có một góc nhọn bằng 40^o rồi viết các tỉ số lượng giác của góc 40^o

Lời giải:

 

Bài 22 trang 106 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Cho tam giác ABC vuông tại A. Chứng minh rằng 

Lời giải:

Bài 23 trang 106 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Cho tam giác ABC vuông tại A, góc B = 30^o, BC = 8cm. Hãy tính cạnh AB (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba), biết rằng cos30^o ≈ 0,866

Lời giải:

Bài 24 trang 106 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 6cm, góc B = α

Biết tg α = 5/12 . Hãy tính:

a. Cạnh AC     

b. Cạnh BC

Lời giải:

Bài 25 trang 107 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Tìm giá trị của x (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba) trong mỗi tam giác vuông với kích thước được chỉ ra trên hình sau, biết:

tg47^o ≈ 1,072, cos38^o ≈ 0,788

Lời giải:

Bài 26 trang 107 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 6cm, AC = 8cm. Tính các tỉ số lượng giác của góc B, từ đó suy ra các tỉ số lượng giác của góc C.

Lời giải:

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có:

BC² = AB² + AC² = 6² + 8² = 100

Suy ra: BC = 10 (cm)

Bài 27 trang 107 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ đường cao AH. Tính sinB, sinC trong mỗi trường hợp sau (làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư), biết rằng:

a. AB = 13, BH = 5     

b. BH = 3, CH = 4

Lời giải:

Bài 28 trang 107 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Hãy biến đổi các tỉ số lượng giác sau đây thành tỉ số lượng giác của các góc nhỏ hơn 45^o: sin75^o, cos53^o, sin47^o20’, tg62^o, cotg82^o45’

Lời giải:

Vì 75^o + 15^o = 90^o nên sin75^o = cos15^o

Vì 53^o + 37^o = 90^o nên cos53^o = sin37^o

Vì 47^o20’ + 42^o40’ = 90^o nên sin47^o20’ = cos42^o40’

Vì 62^o + 28^o = 90^o nên tg62^o = cotg28^o

Vì 82^o45’ + 7^o15’ = 90^o nên cotg82^o45’ = tg7^o15’

Bài 29 trang 107 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Xét quan hệ giữa hai góc trong mỗi biểu thức rồi tính:

a. 

b. tg76^o– cotg14^o

Lời giải:

a. Ta có: 32^o+ 58^o= 90^o

Suy ra: sin32^o = cos58^o. Vậy  = 1

b. Ta có: 76^o+ 14^o= 90^o

Suy ra: tg76^o= cotg14^o. Vậy tg76^o – cotg14^o = 0

Bài 30 trang 107 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Đường cao MQ của tam giác vuông MNP chia cạnh huyển NP thành hai đoạn NQ = 3, PQ = 6. Hãy so sánh cotg ∠N và cotg ∠P . Tỉ số nào lớn hơn và lớn hơn bao nhiêu lần?

Lời giải:

Bài 31 trang 108 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Cạnh góc vuông kề với góc 60^o của một tam giác vuông bằng 3. Sử dụng bảng lượng giác của các góc đặc biệt, hãy tìm cạnh huyền và cạnh góc vuông còn lại (làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư)

Lời giải:

Bài 32 trang 108 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Đường cao BD của tam giác nhọn ABC bằng 6, đoạn thẳng AD bằng 5.

a. Tính diện tích tam giác ABD

b. Tính AC, dùng các thông tin dưới đây nếu cần:

Lời giải:

Suy ra: AC = AD + DC = 5 + 8 = 13.

Bài 33 trang 108 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Cho cos α = 0,8. Hãy tìm sin α, tg α, cotg α (làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư)

Lời giải:

Ta có: sin²α + cos²α = 1

Suy ra: sin²α = 1 – cos²α = 1 – (0,8)² = 1 – 0,64 = 0,36

Vì sin α > 0 nên sin α = √0,36 = 0,6

Suy ra: tg α = sin⁡α/cos⁡α = 0,6/0,8 = 3/4 = 0,75

cotg α = 1/tgα = 1/0,75 = 1,3333

Bài 34 trang 108 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Hãy tìm sin α, cos α (làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư) nếu biết:

a. tg α = 1/3     

b. cotg α = 3/4

Lời giải:

a. Vì tg α = 1/3 nên α là góc nhọn của một tam giác vuông có các cạnh góc vuông là 1 và 3.

Suy ra cạnh huyền của tam giác vuông là:  = 3,1623

Vậy: sin α = 3/5 ≈ 0,6 cos α = 4/5 ≈ 0,8

Bài 35 trang 108 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Dựng góc nhọn α, biết rằng:

a. sin α = 0,25    

b. cos α = 0,75

c. tg α = 1    

d. cotg α = 2

Lời giải:

a. sin α = 0,25 = 14

*Cách dựng: hình a

- Dựng góc vuông xOy

- Trên tia Ox dựng đoạn OA bằng 1 đơn vị dài

- Dựng cung tròn tâm A bán kính 4 đơn vị dài và cắt Oy tại B

b. cos α = 0,75

*Cách dựng: hình b

- Dựng góc vuông xOy

- Trên tia Ox dựng đoạn OA bằng 3 đơn vị dài

- Dựng cung tròn tâm A bán kính 4 đơn vị dài và cắt Oy tại B

c. cotg α = 2

*Cách dựng: hình d

- Dựng góc vuông xOy

- Trên tia Ox dựng đoạn OA bằng 2 đơn vị dài

- Trên tia Oy dựng đoạn OB bằng 1 đơn vị dài

Bài 36 trang 108 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Trong mặt phẳng tọa độ, các đỉnh của tam giác ABC có tọa độ như sau: A(1; 1), B(5; 1), C(7; 9)

Hãy tính:

a. Giá trị của tg (làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư)

b. Độ dài của cạnh AC

Lời giải:

Bài 37 trang 108 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Cho hình dưới. Hãy viết một phương trình để từ đó có thể tìm được x (không phải giải phương trình này).

Lời giải:

Từ đỉnh của góc 70^o, kẻ đường cao của tam giác.

Sử dụng tỉ số sin của các góc, ta có phương trình: xsin30^o = 4sin80^o

Bài 38 trang 108 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Cho hình bên dưới. Hãy tính sin (làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư), biết rằng sin30^o = 0,5.

Lời giải:

Kẻ MH ⊥ NL

Bài 1 trang 109 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Tìm đẳng thức đúng

Lời giải:

Chọn đáp án D

Bài 2 trang 109 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Tìm đẳng thức đúng

Lời giải:

Chọn đáp án C

Bài 3 trang 109 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:

Lời giải:

Chọn đáp án D

Bài 4 trang 109 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Tìm đẳng thức đúng

Lời giải:

Chọn đáp án A

Bài 5 trang 109 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Tìm đẳng thức đúng

A. sinα = sinβ;       

B. sinα = cosβ;

C. sinα = tgβ;       

D. sinα = cotgβ.

Lời giải:

Chọn đáp án B

Bài 6 trang 109 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Tìm đẳng thức đúng

A. cosα = cosβ;       

B. cosα = tgβ;

C. cosα = cotgβ;       

D. cosα = sinβ.

Lời giải:

Chọn đáp án D

Bài 7 trang 109 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Tìm đẳng thức đúng

A. tgα = tgβ;       

B. tgα = cotgβ;

C. tgα = sinβ;       

D. tgα = cosβ.

Lời giải:

Chọn đáp án B

Bài 8 trang 109 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Tìm đẳng thức đúng

A. cotgα = tgβ;       

B. cotgα = cotgβ;

C. cotgα = cosβ;       

D. cotgα = sinβ;

Lời giải:

Chọn đáp án A

Bài 9 trang 109 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Tìm đẳng thức đúng

A. cos²α + sin²β = 1;       

B. sin² α + cos² β = 1;

C. cos²α + sin²α = 1;       

D. cos² α + sin² β = 2.

Lời giải:

Chọn đáp án C

Bài 10 trang 109 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Tìm đẳng thức đúng

A. tgα = sinα + cosα;       

B. tgα = sinα - cosα;

B. tgα = sinα. cosα;       

D. tgα = sinα/cosα.

Lời giải:

Chọn đáp án D

Bài 11 trang 110 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Tìm đẳng thức đúng

A. cotgα = 1 + tgα;       

B. cotgα = 1 - tgα;

C. cotgα = 1. tgα;       

D. cotgα = 1/tgα.

Lời giải:

Chọn đáp án D

Bài 12 trang 110 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Cho sinα = 1/2. Hãy tìm cosα, tgα, cotgα (0^o < α < 90^o).

Lời giải:

Bài 13 trang 110 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Cho cosα = 3/4. Hãy tìm sinα, tgα, cotgα (0^o < α < 90^o).

Lời giải:

Bài 14 trang 110 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 1/3BC. Hãy tính sinC, cosC, tgC, cotgC.

Lời giải:

Bài 15 trang 110 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Hãy tính

a) 2sin30^o- 2cos60^o+ tg45^o;

b) sin45^o+ cotg60^o.cos30^o;

c) cotg44^o.cotg45^o.cotg46^o.

Lời giải:

a) 2sin30^o- 2cos60^o+ tg45^o = tg45^o = 1 (do sin30^o = cos60^o).

b) sin45^o+ cotg60^o.cos30^o= (1+ √2)/2.

c) cotg44^o.cotg45^o.cotg46^o= cotg45^o= 1

(vì cotg44^o = tg46^o do 44^o + 46^o = 90^o mà tg46^o.cotg46^o = 1)

Bài 16 trang 110 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Cho tam giác ABC có ∠A = 60^o. Chứng minh rằng: BC² = AB² + AC² – AB.AC.

Lời giải:

 

Kẻ đường cao BH của tam giác ABC thì H nằm trên tia AC (để ∠(BAC) = 60^o là góc nhọn), do đó HC² = (AC-AH)²(xem h.bs.8a, 8b)

Công thức Py-ta-go cho ta

BC² = BH² + HC²

= BH² + (AC-AH)²

= BH² + AC² + AH² – 2AC.AH

= AB² + AC² – 2AC.AH.

Do ∠(BAC) = 60^o nên AH = AB.cos60^o = AB/2, suy ra BC² = AB² + AC² – AB.AC

Bài 17 trang 110 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Cho tứ giác ABCD có α là góc nhọn tạo bởi hai đường chéo chứng minh rằng S_ABCD = 1/2 AC.BD.sinα.

Lời giải:

Giả sử hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại I, (AIB) ̂ = α là góc nhọn (xem h.bs.9)

Kẻ đường cao AH của tam giác ABD và đường cao CK của tam giác CBD.

Ta có: AH = AI.sinα, CK = CI.sinα,

Diện tích tam giác ABD là S_ABD = 1/2 BD.AH.

Diện tích tam giác CBD là S_CBD = 1/2 BD.CK.

Từ đó diện tích S của tứ giác ABCD là:

S = S_ABD + S_CBD = 1/2BD.(AH + CK)

= 1/2 BD.(AI + CI)sinα = 1/2BD.AC.sinα

Bài 18 trang 110 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Cho góc nhọn α

Lời giải:

Bài 19 trang 110 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Tính giá trị của biểu thức

Lời giải:

Bài 20 trang 110 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Trong hình thang vuông ABCD với các đáy AD, BC có ∠A = ∠B = 90^o, ∠(ACD) = 90^o. BC = 4cm, AD = 16cm. Hãy tìm các góc C và D của hình thang.

Lời giải:

Kẻ đường cao CH của tam giác ACD vuông tại C. Khi đó

AH = BC = 4, HD = AD – AH = 12.

Từ đó

HC² = HA.HD = 48, vậy HC = 4√3.

Trong tam giác vuông HCD, ta có

Nên ∠D = 30^o. Suy ra ∠(BCD) = 180^o - 30^o = 150^o.

Bài 21 trang 111 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Tính các góc của một hình thoi, biết hai đường chéo của nó có độ dài là 2√3 và 2.

Lời giải:

Coi đường chéo AC = 2√3, đường chéo BD = 2 thì để ý rằng AC và BD vuông góc, ta có

Nên ∠(DAC) = 30^o từ đó góc A của hình thoi là 60^o. Suy ra ∠C = 60^o còn ∠B = ∠D = 120^o.

Bài 22 trang 111 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Các cạnh của một hình chữ nhật bằng 3cm và √3 cm. Hãy tìm các góc hợp bởi đường chéo và các cạnh của hình chữ nhật đó.

Lời giải:

Hình chữ nhật ABCD có AB = 3cm, BC = √3 cm nên

Vậy ∠(BAC) = 30^o.

∠(DAC) = 90^o - 30^o = 60^o.