Bài 60 trang 98 sbt Toán 8 tập 2
Tam giác ABC có hai đường trung tuyến AK và CL cắt nhau tại O. Từ điểm P bất kì trên cạnh AC, vẽ các đường thẳng PE song song với AK, PF song song với CL (E thuộc BC, F thuộc AB).Các trung tuyến AK, CL cắt đoạn thẳng EF theo thứ tự tại M, N. Chứng minh rằng các đoạn thẳng FM, MN, NE bằng nhau
Lời giải:
Hướng dẫn
Sử dụng:
- Định lí Ta-lét: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh ấy những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
- Hệ quả định lí Ta-lét: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.
Gọi Q là giao điểm của PF và AK ,I là giao điểm của PE và CL
Trong ΔFPE ta có: PE//AK hay QM //PE
Suy ra: (định lí ta-lét) (1)
Trong ΔALO ta có:PF //CL hay FQ //LO
Suy ra: (định lí ta-lét) (2)
Trong ΔALC ta có: PF // CL
Suy ra: (định lí ta-lét) (3)
Từ (2) và (3) suy ra:
Vì LO = 1/3 CL (O giao điểm của hai đường trung tuyến) nên (4)
Từ (1) và (4) suy ra: ⇒ FM = 1/3 FE
Trong ΔEPF ta có:PF // CL hay NI // PF
Suy ra: (định lí ta –lét) (5)
Trong ΔCKO ta có: EI // OK
Suy ra: (định lí ta –lét) (6)
Trong ΔCKA ta có:PE // AK
Suy ra: (định lí ta –lét) (7)
Từ (6) và (7) suy ra:
Vì OK = 1/3 AK (O là giao điểm của hai đường trung tuyến) nên (8)
Từ (5) và (8) suy ra: ⇒EN = 1/3 EF
Ta có: MN = EF - (EN + FM) = EF - (1/3 EF + 1/3 EF) = 1/3 EF
Vậy EN = MN = NF
Xem toàn bộ Giải SBT Toán 8: Ôn tập chương 3 - Hình học