Đáp án đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán Sở GDĐT Khánh Hòa (2018-2019)

Đáp án đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán

Sở GDĐT Khánh Hòa (2018-2019)

Bài 1. (2 điểm)

a) Giải phương trình:   (1 điểm)

  

Điều kiện: x ≠ ±2

Phương trình đã cho trở thành 2x -1 - (x + 3)(x + 2) + 5 (x² - 4) = 0

Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm phương trình là:

 

b) Hai người cùng xây một bức tường, sau khi làm được 4 giờ người thứ nhất nghỉ, người thứ hai tiếp tục xây thêm 8 giờ nữa thì hoàn thành bức tường. Hỏi nếu ngay từ đầu chỉ một người xây thì sau bao lâu bức tường được hoàn thành, biết rằng người thứ nhất xây bức tường đó nhanh hơn người thứ hai 6 giờ? (1 điểm)

Gọi x (giờ) là thời gian người thứ nhất xây xong bức tường.

Gọi y (giờ) là thời gian người thứ hai xây xong bức tường. (x > 0, y > 0)

Trong 1 giờ người thứ nhất hoàn thành công việc, người thứ hai hoàn thành công việc.

Theo giả thiết ta có:

 

Kết hợp với điều kiện ta có x = 12, y = 18.

Vậy nếu chỉ một người xây thì người thứ nhất hoàn thành sau 12 giờ, người thứ hai hoàn h sau 18 giờ.

Bài 2. (2 điểm)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P) có phương trình y = x² và đường thẳng (d) có phương trình y = 2(m - 1)x + m +1 (với m là tham số).

a) Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt. (1 điểm)

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P):

x² = 2(m-1) x + m + 1 ⇔ x² - 2 (m-1) x - m-1 = 0 (1)

Số nghiệm phương trình (1) là số giao điểm của (d) và (P).

Ta có Δ' = (m - 1)² - (-m-1) = m² - m + 2.

Ta có:

 với mọi giá trị của m.

Suy ra Δ' > 0 với mọi giá trị của m.

phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m hay (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.

b) Tìm các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x₁, x₂ thỏa mãn x + 3x² - 8 = 0. (1 điểm)

Theo câu a), ta có x₁, x₂ là hai nghiệm phương trình (1) nên theo Viet:

Kết hợp giả thiết ta có:

 

Từ (2) và (4), tính được x₁ = 3m - 7; x₂ = -m + 5

Thay vào (3) tính được (5 - m)(3m - 7) = -m -1 ⇔ 3m² -23m + 34 = 0

 

Vậy  thỏa mãn đề bài.

Bài 3. (2 điểm)

a) Rút gọn biểu thức: (1 điểm)

 

Ta có:

 

Vậy 

b) Chứng minh:             (1 điểm)

        

Nhận xét:

Suy ra:

Vậy 

Bài 4. (4 điểm)

Cho đường tròn (O; R) và dây cung AB không đi qua O. Từ điểm M nằm trên tia đối của tia BA (M không trùng với B), kẻ 2 tiếp tuyến MC và MD với đường tròn (O; R) (C, D là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của AB

a) Chứng minh các điểm M, D, H, O cùng thuộc một đường tròn (1,5 điểm)

Vì H là trung điểm của AB nên OH ⊥ AB ⇒ ∠OHM = 90⁰ (5)

Lại có OD ⊥ MD (tính chất tiếp tuyến) ⇒ ∠ODM = 90⁰ (6)

Từ (5) và (6) suy ra 4 điểm M, D, H, O cùng thuộc 1 đường tròn đường kính MO.

b) Đường thẳng OM cắt đường tròn (O; R) tại điểm I. Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD (1,5 điểm)

Vì  là đường phân giác của CMD và COD

Do OM cắt (O; R) tại I nên I là trung điểm cung nhỏ CD (7)

Lại có

Từ (7) và (8) suy ra IC là đường phân giác của MCD

Tam giác MCD có I là giao điểm của hai đường phân giác trong nên I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD.

c) Đường thẳng qua O vuông góc với OM cắt các tia MC, MD lần lượt tại E và F. Xác định hình dạng của tứ giác MCOD để diện tích tam giác MEF nhỏ nhất khi M di động trên tia đối của tia BA. (1 điểm)

Vì CD // EF ( cùng vuông góc với OM) nên tam giác MCD đồng dạng với tam giác MEF. Mà ΔMCD cân tại M ⇒ ΔMEF cân tại M.

S_ΔMEF = 2S_ΔOMF = OD.MF

Mà OD = R (không đổi) nên S_ΔMEF nhỏ nhất khi MF nhỏ nhất.

Ta có  = 2OD = 2R.

Dấu đẳng thức xảy ra khi MD = DF ⇒ ΔMOF vuông cân tại O

 

Khi đó S_ΔMEF đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2R²

Khi đó tứ giác MCOD là hình vuông cạnh bằng R.