Chứng minh hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật?

Cùng Top lời giải trả lời chi tiết, chính xác câu hỏi: “Chứng minh hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật” và đọc thêm phần kiến thức tham khảo giúp các bạn học sinh ôn tập và tích lũy kiến thức bộ môn Toán 8.

Câu hỏi: Chứng minh hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật?

Trả lời: 

Ta có: AB//CD và AB = CD

Nếu AC = BD (là hai đường chéo) => OA = OB

=> Tam giác OAB cân tại O

=> góc đáy = 45 độ

Tương tự tam giác OAD 

=> góc BAD = 90 độ

=> Hình bình hành có góc 90 độ => ABCD là hình chữ nhật

Kiến thức mở rộng về hình chữ nhật

1. Định nghĩa, tính chất, dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật:

• Định nghĩa: Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông.

Tứ giác ABCD là hình chữ nhật 

• Tính chất:

Hình chữ nhật có tất cả các tính chất của hình bình hành và hình thang cân

- Hai cạnh đối song song, hai cạnh đối bằng nhau, hai góc đối bằng nhau

- Hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

* Dấu hiệu nhận biết

1. Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.

2. Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật

3. Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.

4. Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.

2. Các công thức liên quan đến hình chữ nhật

a. Công thức tính diện tích hình chữ nhật

Diện tích chính là đại lượng biểu thị phạm vi của hình trong mặt phẳng. So với một đa giác thông thường, công thức diện tích hình chữ nhật đơn giản hơn rất nhiều. Có thể có 4 tính chất hình chữ nhật nhưng chỉ có duy nhất một công thức tính hình chữ nhật.

Với một hình chữ nhật có chiều dài b và chiều rộng a thì diện tích của hình chữ nhật S này được xác định với công thức: S = b*a

b. Công thức tính chu vi hình chữ nhật

Chu vi được xem là độ dài của đường bao quanh một hình hai chiều. Một tứ giác được xác định chu vi với tổng độ dài các cạnh của nó.

Hình chữ nhật là hình có 2 cạnh song song có cùng độ dài. Do đó chu vi hình chữ nhật (CV) với a (chiều dài), b (chiều rộng) được xác định với công thức như sau: CV= (a+b)*2

c. Công thức tính đường chéo hình chữ nhật

Đường chéo hình chữ nhật là cạnh của 2 tam giác vuông chia đều hình chữ nhật ra làm hai.  Do đó để tính được đường chéo hình chữ nhật, ta có thể xem nó như cạnh huyền của tam giác vuông.

Áp dụng định lý Pytago trong một tam giác vuông. Trong đó, 2 cạnh lần lượt là chiều dài (d) và chiều rộng (r) của hình chữ nhật. Ta có công thức tính cạnh huyền c (đường chéo hình chữ nhật) của tam giác đó như sau: 

c² = d² + r²

3. Cách chứng minh Tứ giác là Hình chữ nhật

Cách 1: Tứ giác có ba góc vuông

Ví dụ: Cho tứ giác ABCD có ∆ABC vuông tại A,∆BCD vuông tại B, ∆CDA vuông tại C. Tứ giác ABCD là hình gì. Vì sao?

Theo bài ra, ta có:

∆ABC vuông tại A => Góc BAC = 90°

∆BCD vuông tại B => Góc CBD = 90°

∆CDA vuông tại C => Góc DCA = 90°

=> Góc ADC = 90° (Tổng 4 góc của một tứ giác bừng 360 độ)

=> Tứ giác ABCD là hình chữ nhật do có bốn góc vuông. ( đ.p.c.m )

Cách 2: Hình thang cân có một góc vuông

Ví dụ: Cho hình thang cân ABCD với AB // CD, giả sử góc D = 90°. Chứng minh ABCD là hình chữ nhật

Theo giả thiết: Góc D = 90°

Ta có: AB // CD (ABCD là hình thang)

=> Góc A + D = 180° (hai góc trong cùng phía)
=> Góc A = 90°

Lại có Góc A + Góc C = 180° => Góc C = 90°

Vậy tứ giác ABCD có 3 góc A = B = C = 90°

=> ABCD là Hình chữ nhật. ( đ.p.c.m )

Cách 3: Hình bình hành có một góc vuông

Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông cân tại C. Trên cạnh AC, BC lấy lần lượt các điểm P, Q sao cho AP = CQ. Từ điểm P vẽ PM // BC (M thuộc AB). Chứng minh tứ giác PCQM là hình chữ nhật.

Theo bài ra, ta có:

∆ABC vuông tại C => AC ⊥ BC = > AP ⊥ PM

=> ∆APM vuông cân tại P

=> AP = PM

Lại có: AP = CQ

Mà PM // CQ

=> MNPQ là hình bình hành (1)

Mặt khác: Góc C = 90° (2)

Từ (1) và (2) => Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật ( đ.p.c.m )

Cách 4: Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau

Ví dụ: Cho tam giác ABC cân tại A, các đường trung tuyến BM, CN cắt nhau tại G. Gọi D là điểm đối xứng với B qua M, gọi E là điểm đối xứng với G qua N. Tứ giác BEDC là hình gì? Vì sao?

Theo bài ra, ta có: G là trọng tâm của ΔABC.

⇒ GB = 2GM và GC = 2GN

Điểm D đối xứng với điểm G qua điểm M

⇒ MG = MD hay GD = 2GM

Suy ra: GB = GD (3)

Điểm E đối xứng với điểm G qua điểm N

⇒ NG = NE hay GE = 2GN

Suy ra: GC = GE (4)

Từ (3) và (4) ⇒ Tứ giác BCDE là Hình bình hành do hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. (5)

Xét ΔBCM và ΔCNB, có:

BC cạnh chung

Góc BCM = CBN (tính chất tam giác cân)

CM = BN (vì AB = AC)

Suy ra: ΔBCM = ΔCBN (c.g.c)

⇒ Góc B1 = C1 ⇒ ΔGBC cân tại G ⇒ GB = GC ⇒ BD = CE (6)

Từ (5) và (6), suy ra: BCDE là hình chữ nhật do là hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau. ( đ.p.c.m )

4. Các ví dụ minh họa:

Hướng dẫn:

Vì ABCD là hình bình hành nên AB//CD

Suy ra, EFGH là hình chữ nhật.

• Diện tích hình chữ nhật

Diện tích hình chữ nhật bằng tích chiều dài nhân với chiều rộng

a, b: là độ dài chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật

Ví dụ 2: Cho hình chữ nhật ABCD có độ dài chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là 7cm và 5cm. Tính diện tích hình chữ nhật?

Hướng dẫn:

Áp dụng công thức ta có, diện tích hình chữ nhật ABCD là:

S = 7.5 =35 (cm²)

• Chu vi hình chữ nhật

Chu vi hình chữ nhật bằng hai lần tổng chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đó.

P = 2( a + b )

a, b: độ dài chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật

Ví dụ 3: Cho hình chữ nhật ABCD có độ dài chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là 7cm và 5cm. Tính chu vi hình chữ nhật?

Hướng dẫn:

Áp dụng công thức ta có, chu vi hình chữ nhật ABCD là:

S = 2( 7 + 5 ) = 24 (cm)