Chứng minh định lí đảo của định lí về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

Hướng dẫn Chứng minh định lí đảo của định lí về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung đầy đủ, chi tiết nhất, bám sát nội dung SGK Toán 9, giúp các em ôn tập tốt hơn.

Câu hỏi: Chứng minh định lí đảo của định lí về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung?

Trả lời:

Chứng minh trực tiếp (Hình a)

=> OA vuông góc Ax.

Vậy Ax là tiếp tuyến của (O) tại A.

Chứng minh bằng phản chứng (Hình b)

Giả sử Ax không phải là tiếp tuyến của (O) tại A. Tức là Ax là một cát tuyến của (O).

Kiến thức vận dụng để trả lời câu hỏi

1. Định nghĩa tiếp tuyến

Tiếp tuyến của một đường cong tại một điểm bất kỳ thuộc đường cong là một đường thẳng chỉ "chạm" vào đường cong tại điểm đó. Leibniz định nghĩa tiếp tuyến như một đường thẳng nối một cặp điểm gần nhau vô hạn trên đường cong. Chính xác hơn, một đường thẳng là một tiếp tuyến của đường cong y = f (x) tại điểm x = c trên đường cong nếu đường thẳng đó đi qua điểm (c, f (c)) trên đường cong và có độ dốc f '(c) với f ' là đạo hàm của f. Một định nghĩa tương tự áp dụng cho các đường cong không gian và các đường cong trong không gian Euclide n-chiều.

Khi tiếp tuyến đi qua điểm giao của đường tiếp tuyến và đường cong trên, được gọi là tiếp điểm, đường tiếp tuyến "đi theo hướng" của đường cong, và do đó là đường thẳng xấp xỉ tốt nhất với đường cong tại điểm tiếp xúc đó.

Tương tự như vậy, mặt phẳng tiếp tuyến của mặt cong tại một điểm nhất định là mặt phẳng "chỉ chạm vào" mặt cong tại điểm đó. Khái niệm tiếp tuyến là một trong những khái niệm cơ bản nhất trong hình học vi phân và đã được tổng quát hóa rộng rãi.

2. Tính chất tiếp tuyến của đường tròn

Tính chất của tiếp tuyến 

Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

Trong hình trên a là tiếp tuyến của đường tròn (O).

⇒ a ⊥ OH ⇒ tại H (với H là tiếp điểm).

Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

- Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

- Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của các góc tạo bởi hai tiếp tuyến.

- Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua tiếp điểm.

Nghĩa là cho đường tròn (O), B,C∈(O). Tiếp tuyến của (O) tại B,C  cắt nhau tại A

Khi đó

- AB=AC

- Tia OC là phân giác góc BOC

- Tia AO là phân giác góc BAC

3. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến

– Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn.

– Nếu một đường thẳng và một đường tròn chỉ có một điểm chung thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn.

– Nếu khoảng cách từ tâm của một đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính của đường tròn thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn.

4. Dây cung

- Dây cung của một đường tròn (đôi khi chỉ được nói ngắn gọn là dây) là một đoạn thẳng mà cả hai đầu mút của nó đều nằm trên đường tròn.

- Một cát tuyến có thể được định nghĩa là đường thẳng chứa một dây cung.

- Các dây cung của một đường tròn có một số tính chất sau đây:

+ Hai dây cung cách đều tâm nếu và chỉ nếu chúng có độ dài bằng nhau.

+ Đường trung trực của dây thì đi qua tâm.

+ Nếu hai đường thẳng chứa hai dây cung AB và CD của một đường tròn (hai cát tuyến) cắt nhau tại P, thì ta có hệ thức PA·PB = PC·PD (tính chất phương tích của một điểm).

+ Nếu hai góc thuộc cùng một đường tròn chắn hai dây cung bằng nhau hoặc cùng 1 dây cung thì 2 góc đó bằng nhau.

5. Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung

* Định nghĩa

Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và một cạnh là tia tiếp tuyến còn cạnh kia chứa dây cung của đường tròn đó.

Như vậy, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cần thỏa mãn các điều kiện sau:

-  Đỉnh nằm trên đường tròn.

- Một cạnh chứa tiếp tuyến của đường tròn.

- Cạnh còn lại chứa dây cung của đường tròn.

* Định lý: Số đo của góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn.

* Hệ quả.

    + Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.

    + Định lý bổ sung: Nếu góc BAx (với đỉnh A nằm trên đường tròn, một cạnh chứa dây cung AB), có số đo bằng nửa số đo của cung AB căng dây đó và cung này nằm bên trong góc đó thì cạnh Ax là một tia tiếp tuyến của đường tròn.

6. Các dạng toán thường gặp liên quan đến tiếp tuyến và dây cung

Dạng 1: Chứng minh các góc bằng nhau, các tam giác đồng dạng, các hệ thức về cạnh

Phương pháp:

Ta sử dụng hệ quả về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung hoặc hệ quả của hai góc nội tiếp:

" Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau."

Dạng 2: Chứng minh các đường thẳng vuông góc, song song. Chứng minh một tia là tiếp tuyến của đường tròn. Tính độ dài bán kính, độ dài đoạn thẳng

Phương pháp:

Sử dụng hệ quả về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung hoặc hệ quả của hai góc nội tiếp.

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông và định lý Pytago.

Xem thêm:

>>> Bài tập về góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung