Bài tập về góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung

Bạn có bao giờ gặp khó khăn khi giải các bài tập về góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung không? Hãy cùng Top lời giải tham khảo một số bài tập và cách giải dưới đây nhé!

Bài 1. Cho ΔABC nội tiếp đường tròn (O), (AB < AC). Trên tia đối của tia BC lấy điểm M sao cho MA² = MB.MC. Chứng minh rằng: MA là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Đáp án

Vì MA² = MB.MC => MA/MB = MC/MA

Xét ΔMAC và ΔMBA có

∠M chung

MA/MB = MC/MA

=> ΔMAC ∼ ΔMBA (c.g.c)

=> ∠MAB = ∠MCA (1)

Kẻ đường kính AD của (O)

Ta có ∠ACB = ∠ADB (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB )

Mà ∠MAB = ∠MCA (chứng minh trên)

Suy ra ∠MAB = ∠ADB (3)

Lại có ∠ABD = 90^o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

=> ∠BAD + ∠BDA = 90^o (4)

Từ (3) và (4) suy ra ∠BAD + ∠MAB = 90^o hay ∠MAO = 90^o

=> OA ⊥ MA

Do A ∈ (O)

=> MA là tiếp tuyến của (O).

Bài 2. Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Một tiếp tuyến của đường tròn tại P cắt đường thẳng AB tại T (điểm B nằm giữa O và T)

Chứng minh: 

Đáp án        

* Cách 1:

Ta có ∠TPB là góc tạo bởi tiếp tuyến PTvà dây cung PB của đường tròn (O) nên  

Lại có: 

(góc ở tâm chắn cung BP)(2)

Từ (1) và (2) suy ra  

Vì TP là tiếp tuyến của đường tròn (O)nên OP⊥TP. Do đó tam giác TPO vuông tại T, ta có 

hay 

=> Điều phải chứng minh

* Cách 2:

Vì 

 ( góc nội tiếp chắn cung và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung PB)

Vì ∠B₁ là góc ngoài tại đỉnh B của tam giác BPT nên

Xét đường tròn (O) có: 

∠APB = 90⁰ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⇒ Tam giác APB vuông tại P

⇒ 

Từ (3) và (4) ta có:

 (đpcm)

Bài 3. Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O') cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai P. Tia PB cắt đường tròn (O') tại Q. Chứng minh đường thẳng AQ song song với tiếp tuyến tại P của đường tròn (O).

Đáp án        

Ta có:

Góc ∠PAB = ½ sđ cung AmB (định lí về góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)

Góc ∠AQB = ½ sđ cung AmB (định lí góc nội tiếp)

=> góc PAB =góc AQB. (1)

Ta lại có:

góc ∠BPx = ½ sđ cung PB (định lí về góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)

góc ∠PAB = ½ sđ cungPB (định lí góc nội tiếp)

=> ∠PAB = ∠BPx. (2)

Từ (1) và (2) suy ra góc AQB  = ∠BPx

Mà góc ∠AQB và góc ∠BPx ở vị trí so le trong.

Nên AC // Px

Nói cách khác đường thẳng AQ song song với tiếp tuyến tại P của đường tròn (O) (đpcm).

Bài 4. Kết luận nào sau đây là đúng

A. Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung có số đo lớn hơn góc nội tiếp chắn cung đó

B. Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung có số đo nhỏ hơn góc nội tiếp chắn cung đó

C. Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau

D. Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung có số đo bằng hai lần số đo của góc nội tiếp chắn cung đó

Đáp án

Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau

Chọn C

Bài 5.

Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với (O) tại A và B. Qua A vẽ đường thẳng song song với MB cắt đường tròn tại C. Nối C với M cắt đường tròn (O) tại D.Nối A với D cắt MB tại E. Chứng minh rằng:

a) ΔABE ∼ ΔBDE; ΔMEA ∼ ΔDEM.

b) E là trung điểm của MB.

Đáp án

a) Xét ΔABE và ΔBDE có:

+ ∠E chung

+ ∠BAE = ∠DBE (góc nội tiếp và góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BD )

=> ΔABE ∼ ΔBDE (g.g)

Vì AC // MB nên ∠ACM = ∠CMB (so le trong)

Mà ∠ACM = ∠MAE (góc nội tiếp và góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AD )

Suy ra: ∠CMB = ∠MAE

Xét ΔMEA và ΔDEM có:

+ ∠E chung

+ ∠MAE = ∠CMD (chứng minh trên)

=> ΔMEA ∼ ΔDEM (g.g)

b) Theo chứng minh a) ta có:

ΔABE ∼ ΔBDE => AE/BE = BE/DE => EB² = AE.DE

ΔMEA ∼ ΔDEM => ME/DE = EA/EM => ME² = DE.EA

Do đó EB² = EM² hay EB = EM.

Vậy E là trung điểm của MB.

Bài 6. Trên bờ biển có một ngọn hải đăng cao 40m. Với khoảng cách bao nhiêu kilomet thì người quan sát trên tàu bắt đầu trông thấy ngọn đèn này, biết rằng mắt người quan sát ở độ cao 10m so với mực nước biển và bán kính Trái Đất gần bằng 6400km

Tính độ dài đoạn TM và TM’

Đáp án

Áp dụng công thức ta có: 

⇒MT²=MA.MB

=MA(MA+AB)

=0,04.(0,04 + 2.6400) = 512,0016

=>MT ≈ 22,63 (km)

Tương tự ta tính M’T:

⇒MT′² = M′A′.M′B′

=0,01.(0,01 + 6400.2)

=128,0001

=>M′T ≈ 11,31(km)

Tacó: MM′ = MT + TM’ ≈ 22,63 + 11,31 = 33,94 (km)

Vậy khi cách ngọn hải đăng 33,94 km thì người quan sát tàu bắt đầu thấy ngọn hải đăng.

Xem thêm:

>>> Bài tập về tiếp tuyến của đường tròn lớp 9