Chứng minh định lí Ceva và ứng dụng giải bài tập

1. Định nghĩa về Ceva 

Định lý Ceva là một định lý phổ biến trong hình học cơ bản, được phát biểu như sau:

Khi ta cho tam giác ABC và các điểm D, E, F lần lượt nằm trên các cạnh BC, CA, AB. Khi đó thì các đường thẳng AD, BE, CF đồng quy khi và chỉ khi: DBDC.ECEA.FAFB=1

2. Chứng minh định lý Ceva

Giả sử ta đã có AD,BE,CF đồng quy tại điểm O

Khi đó ta có :

Vậy ta có điều phải chứng minh.

3. Chứng minh định lý Ceva đảo

Giả sử ta đã có các điểm D,E,F thỏa mãn 

Gọi O là giao điểm của AD,BE và F′ là giao điểm của AB,CO

Theo phần thuận chứng minh ở trên thì ta có :

Vậy F ≡ F′ hay nói cách khác thì AD,BE,CF đồng quy

Như vậy ta đã chứng minh được cả hai chiều của Đ/L Ceva. Trong một số bài toán, chúng ta cần vận dụng linh hoạt cả chiều thuận cũng như chiều đảo của định lý để giải quyết bài toán nhanh gọn.

Ví dụ: Cho tam giác ABC và đường tròn tâm I nội tiếp tam giác tiếp xúc với các cạnh BCm CA, AB lần lượt tại D, E, F. Gọi D’, E’, F’ lần lượt là điểm đối xứng của D, E, F qua I. Chứng minh rằng AD’, BE’, CF’ đồng quy.

Lời giải: 

Xét tam giác ABC với 3 đoạn thẳng Ceva AD, BE, CF đồng quy. Gọi I, J, K theo thứ tự là trung điểm của chúng. M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC. Ta dễ dàng chứng minh được 3 điểm I, J, K nằm trên 3 cạnh của tam giác MNP. Trong tam giác MNP xét tỉ sốK

Từ đó theo định lí Ceva, ta có MI, NJ, PK đồng quy (đpcm)

4. Định lý Ceva dạng lượng giác

Một dạng khác của ĐL Ceva đó là định lý Ceva dạng lượng giác hay định lý Ceva dạng sin. Ceva dạng lượng giác thường được áp dụng cho ba đường thẳng mà các điểm khác đỉnh của tam giác không nằm trên các cạnh của tam giác đó. Định lý được phát biểu như sau:

Cho tam giác ABC. Gọi M,N,P là ba điểm tương ứng nằm trên ba cạnh BC,CA,AB của tam giác. Khi đó, ba đường thẳng AM,BN,CP đồng quy khi và chỉ khi sin∠MABsin∠MAC.sin∠NBCsin∠NBA.sin∠PCAsin∠PCB=1

Chứng minh:

Áp dụng định lý sin cho các tam giác ABM và ACM ta có :

BM = ABsin∠MABsin∠AMB

MC = ACsin∠MACsin∠AMC

Vì sin∠AMB = sin∠AMC nên suy ra BMMC = ABAC.sin∠MABsin∠MAC (1)

Tương tự CNNA = BCAB.∠sinNBCsin∠NBA; APPB=ACBC.sin∠PCAsin∠PCB (2)

Ba đường thẳng AM,BN,CP đồng quy nên theo định lý Ceva có BMMC.CNNA.APPB = 1 (3)

Từ (1),(2) và (3) ta có

sin∠MABsin∠MAC.sin∠NBCsin∠NBA.sin∠PCAsin∠PCB = 1 

Ví dụ 1:

Cho tam giác ABC và ba đường thẳng AD,BE,CF đồng quy tại O với D,E,F lần lượt nằm trên BC,CA,AB.

Gọi X,Y,Z lần lượt là hình chiếu của D,E,F lên EF,FD,ED. Chứng minh rằng AX,BY,CZ đồng quy.

Cách giải:

Ta sẽ kí hiệu D = ∠FDE,E=∠FED,F=∠DFE

Ta có: FXEX = SAFXSAEX = AF.AX.sin∠FAX.AE.AX.sin∠EAX=AFAE.sin∠FAXsin∠EAX

Mặt khác ta cũng có: FXEX=tanF.DXtanE.DX=tanFtanE

Từ đó suy ra:

AFAE.sin∠FAXsin∠EAX=tanFtanE⇔sin∠FAXsin∠EAX=tanFtanE.AEAF

Làm tương tự như vậy và nhân lại, ta được:

sin∠FAXsin∠EAX.sin∠ECZsin∠DCZ.sin∠DBYsin∠FCY=1.AFBF.BDCD.CEAE

Theo định lý Ceva cho tam giác ABC, vì AD,BE,CF đồng quy nên ta có

AFBF.BDCD.CEAE=1

Như vậy ta được:

sin∠FAXsin∠EAX.sin∠ECZsin∠DCZ.sin∠DBYsin∠FCY = 1

Theo định lý Ceva dạng sin ta có AX,BY,CZ đồng quy.

5. Ứng dụng định lí Ceva 

Bài 1: Cho tam giác ABC.Gọi D là trung điểm của BC, E và F lần lượt là 2 điểm nằm trên AB, AC sao cho AD, BF, CE đồng quy. Chứng minh rằng EF // BC?

Lời giải

Nhận xét: Trong bài tập trên nếu dùng các dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song thông thường dùng thì rất khó khăn trong chứng minh. Ở đây ta dùng định lí Ceva sẽ dẫn đến tỉ số có lợi là (EA/EB = FA/FC) và áp dụng định lí Ta-let để thu được kết quả hay và ngắn gọn.

Bài 2: Cho tam giác ABC, gọi M là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống đường phân giác của góc BCA. N và L lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ A và C xuống đường phân giác của góc ABC, Gọi F là giao của MN và AC, E là giao của BF và CL, D là giao của BL và AC, Chứng minh rằng DE // MN?

Bài 3: Cho tam giác ABC và đường tròn tâm I nội tiếp tam giác tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Gọi D’, E’, F’ lần lượt là điểm đối xứng của D, E, F qua I. Chứng minh rằng AD’, BE’, CF’ đồng quy.

Lời giải: