Chứng minh bất đẳng thức Côsi 3 số

1. Bất đẳng thức Cosi là gì?

Bất đẳng thức Cosi là khái niệm dùng để chỉ bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân của n số thực không âm. Trong đó, trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng. Trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ khi n số đó bằng nhau.

2. Bất đẳng thức cosi cho 3 số không âm

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

3. Chứng minh bất đẳng thức cosi với 3 số thực a, b, c không âm

Bất đẳng thức Cosi cho 3 số không âm: 

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

Bất đẳng thức đúng với a = 0 hoặc b = 0 hoặc c = 0

4. Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 3 số dương

5. Chứng minh bất đẳng thức Cosi với n số dương

n = 2 thì bất đẳng thức đúng. Nếu bất đẳng thức đúng với số thì nó cũng đúng với  số. Ta có thể chứng minh đơn giản vì: 

Theo quy nạp thì bất đẳng thức đúng với n là một lũy thừa của 2.

Mặt khác giả sử bất đẳng thức đúng với n số thì ta cũng chứng minh được nó đúng với n – 1 số như sau:

Đây chính là bất đẳng thức Cosi (n-1) số. Như vậy ta có đpcm.

6. Một số bài tập áp dụng BĐT Cô si