Công thức bất đẳng thức Côsi lớp 9

1. Kiến thức cần nhớ

+ Bất đẳng thức Cô si của n số thực không âm được phát biểu như sau: Trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi n số đó bằng nhau.

- Bất đẳng thức Cô si với 2 số thực không âm:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a =b

- Bất đẳng thức Cô si với n số thực không âm:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x₁ = x₂ = ...=x_n

Bất đẳng thức này còn có thể được phát biểu dưới dạng

Hoặc

- Bất đẳng thức Cosi với n số thực dương

Giả sử a₁ ,a₂,…, a_n  là các số thực bất kì và b₁, b₂,…, b_n là các số thực dương. Khi đó, ta luôn có:

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d

2. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy (Cô si) với 2 số thực a và b không âm

+ Với a = 0, b = 0 thì bất đẳng thức luôn luôn đúng. Với a, b > 0, ta chứng minh:

Suy ra bất đẳng thức luôn đúng với mọi a, b không âm

3. Hệ quả của bất đẳng thức Cauchy (Cô si)

+ Hệ quả 1: nếu tổng hai số dương không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi hai số đó bằng nhau

+ Hệ quả 2: nếu tích hai số dương không đổi thì tổng của của hai số này nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau

4. Bài tập về bất đẳng thức Cô si lớp 9