Chứng minh công thức tính diện tích mặt cầu

1. Khái niệm mặt cầu

Mặt cầu là tập hợp những điểm cách đều một điểm O (tâm cầu) cố định cho trước một khoảng không đổi bằng R (bán kính), công thức tính diện tích mặt cầu cũng là kiến thức khá đơn giản và dễ nhớ. Ở bài viết ngay dưới đây, chúng ta cùng nhau khám phá nội dung chi tiết công thức tính toán của hình khối này.

2. Công thức tính diện tích mặt cầu

- Công thức tính diện tích mặt cầu tổng quát:

Smặt cầu = 4 π.R³ (1)

hoặc :

Smặt cầu = π. d² (2)

- Giải thích kí hiệu các đại lượng:

+ Smặt cầu : Kí hiệu diện tích mặt cầu

+ R là bán kính mặt cầu

+ d là đường kính mặt cầu

+ π : Số pi (π = 3,14)

- Đơn vị diện tích: mét vuông (m²),...

3. Chứng minh công thức tính diện tích mặt cầu

Diện tích S của mặt tròn xoay tạo thành khi quay xung quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

Đặt d = 2R. Hình cầu bán kính R là hình tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường:

Vậy ta có:

4. Mặt cầu khác hình cầu ở chỗ nào?

- Mặt cầu là phần vỏ mặt ngoài của hình cầu, nói cách khác, nó là khối cầu rỗng

+ Mặt cầu ở dạng 3D

+ Đặc trưng của mặt cầu là diện tích

- Hình cầu là hình bao gồm cả mặt cầu bao gồm phần mặt ngoài và phần bên trong bị giới hạn bởi bề mặt đó.

+ Hình cầu ở dạng 2D và là khối cầu đặc

+ Đặc trưng của hình cầu là thể tích.

5. Bài tập tính diện tích mặt cầu

Bài tập 1. Tính diện tích của mặt cầu có bán kính nối từ tâm O dài:

a) 8 m

b) 1,3 dm

c) 2 cm

d) 15 cm

Giải

Áp dụng công thức (1)

a) Diện tích mặt cầu là:

4x 3,14 x 8³ = 6430,72 (m²)

b) Diện tích của mặt cầu là:

4 x 3,14 x 1,3³ = 27,59432 (dm²)

c) Diện tích của mặt cầu là:

4 x 3,14 x 2³ = 100,48 (cm²)

d) Diện tích của mặt cầu là:

4 x 3,14 x 15³ = 42390 (cm²)

Bài tập 2. Tính diện tích của mặt cầu biết đường kính có độ dài:

a) 2,1 cm

b) 9 cm

c) 1⁄2 cm

d) 4,5 cm

Giải: 

Áp dụng công thức (2)

a) Diện tích của mặt cầu là:

3,14 x 2,1² = 13,8474 (cm²)

b) Diện tích của mặt cầu là:

3,14 x 9² = 254,34 (cm²)

c) Diện tích của mặt cầu là:

3,14 x (1/2)² = 0,785 (cm²)

d) Diện tích của mặt cầu là:

3,14 x (4,5)² = 63,585 (cm²)

* Gợi ý

Đối với các bài tập này, các em chỉ cần thay số vào công thức tính diện tích mặt cầu (1) hoặc (2) và tính toán là xong (có thể tính nhẩm nếu số đơn giản hoặc sử dụng máy tính cầm tay nếu số phức tạp).

Công thức tính diện tích mặt cầu khá dễ nhớ và cần học thuộc giống như đa số những công thức phổ biến trong môn toán hình học không gian. Công thức tính diện tích mặt cầu được sử dụng khá nhiều và phổ biến trong các bài toán hình học.