Thế nào là 3 đường thẳng đồng quy

Câu hỏi: Thế nào là 3 đường thẳng đồng quy?

Trả lời:

Cho ba đường thẳng l, i, k không trùng nhau. Khi đó ta nói ba đường thẳng l, i, k đồng quy khi ba đường thẳng đó cùng đi qua một điểm O nào đó.

Cùng Top lời giải tìm hiểu chi tiết về lý thuyết Ba đường thẳng đồng quy nhé

1. Tính chất của 3 Đường thẳng đồng quy trong tam giác

- Nếu hai đường cao trong tam giác cắt nhau tại một điểm thì từ đó suy ra đường cao thứ 3 cũng đi qua giao điểm đó 

- Ba đường trung tuyến trong một tam giác đồng quy tại 1 điểm. Điểm này gọi là trọng tâm của tam giác. 

- Ba đường cao trong một tam giác đồng quy tại 1 điểm. Điểm này gọi là trực tâm của tam giác. 

- Nếu hai đường trung tuyến trong tam giác cắt nhau tại một điểm thì từ đó suy ra đường trung tuyến thứ 3 cũng đi qua giao điểm đó. Trong tâm chia đoạn thẳng trung tuyến thành 3 phần: Từ trọng tâm lên đỉnh chiếm 2/3 độ dài trung tuyến đó. 

- Ba đường phân giác trong một tam giác đồng quy tại 1 điểm. Điểm này gọi là tâm đường tròn nội tiếp tam giác . 

- Nếu hai đường phân giác trong tam giác cắt nhau tại một điểm thì từ đó suy ra đường phân giác thứ 3 cũng đi qua giao điểm đó. Giao điểm 3 đường phân giác cách đều 3 cạnh của tam giác. 

- Ba đường trung trực trong một tam giác đồng quy tại 1 điểm. Điểm này gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. 

- Nếu hai đường trung trực trong tam giác cắt nhau tại một điểm thì từ đó suy ra đường trung trực thứ 3 cũng đi qua giao điểm đó. Giao điểm 3 đường trung trực cách đều 3 đỉnh của tam giác.  

2. Điều kiện để 3 Đường thẳng đồng quy là gì

- Định lý trọng tâm: Ba đường trung tuyến của tam giác cắt nhau tại một điểm. Đồng thời khoảng cách từ điểm này đến đỉnh gấp đôi khoảng cách từ điểm này đến trung điểm của cạnh đối diện. Giao điểm nói trên được gọi là trọng tâm của hình tam giác.

- Định lý tâm ngoại tiếp: các đường trung trực của ba cạnh của tam giác cắt nhau tại một điểm. Điểm này gọi là tâm ngoại tiếp của tam giác.

- Định lý trực tâm: Ba đường cao của tam giác cắt nhau tại một điểm. Điểm này được gọi là trực tâm của tam giác

- Định lý tâm nội tiếp: Ba đường phân giác trong của tam giác cắt nhau tại một điểm. Điểm này được gọi là tâm nội tuyến của tam giác.

- Định lý tâm bàng tiếp: Tia phân giác của góc trong của tam giác và tia phân giác của góc ngoài ở hai đỉnh còn lại cắt nhau tại một điểm. Điểm này gọi là tâm bàng tiếp của tam giác. Hình tam giác có 3 tâm bàng tiếp.

- Trọng tâm, trực tâm, tâm ngoại tiếp, tâm nội tiếp, tâm bàng tiếp đều là tâm của tam giác. Chúng đều có những mối liên hệ quan trọng đến hình tam giác.

3. Cách chứng minh 3 đường thẳng đồng quy 

Trong các bài toán hình học phẳng THCS, để chứng minh 3 đường thẳng đồng quy thì chúng ta có thể sử dụng các phương pháp sau đây :

- Tìm giao của hai đường thẳng, sau đó chứng minh đường thẳng thứ ba đi qua giao điểm đó.

- Sử dụng tính chất đồng quy trong tam giác:

+ Ba đường trung tuyến của tam giác đồng quy tại trọng tâm tam giác.

+ Ba đường phân giác.đồng quy tại tâm đường tròn nội tiếp tam giác.

+ Ba đường trung trực đồng quy tại tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.

+ Ba đường cao đồng quy tại trực tâm tam giác.

- Đặc biệt ba điểm trọng tâm, trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp thẳng hàng nhau. Đường thẳng đi qua ba điểm đó được gọi là đường thẳng Euler của tam giác

- Sử dụng định lý Ceva: Cho tam giác ABC và ba điểm bất kì M,N,P nằm trên ba cạnh BC,CA,AB. Khi đó ba đường thẳng AM,BN,CP đồng quy khi và chỉ khi : 

4. Ví dụ bài tập có lời giải

Bài 1: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Các đường thẳng AO và AO’ cắt (O) tại C và D và cắt (O’) tại E và F. Chứng minh rằng AB, CD, EF đồng quy

Lời giải:

Bài 2: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn đường kính AD. Gọi M là một điểm di động trên cung nhỏ AB (M không trùng với các điểm A và B). Gọi K là giao điểm của AB và MD, H là giao điểm của AD và MC. Chứng minh rằng ba đường thẳng AM, BD, HK đồng quy.

Lời giải:

Bài 3:  Cho tam giác ABC. Qua mỗi đỉnh A,B,C kẻ các đường thẳng song song với cạnh đối diện, chúng lần lượt cắt nhau tại F,D,E. Chứng minh rằng ba đường thẳng AD,BE,CF đồng quy.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Bài 4:  Cho tam giác ABC có đường cao AH. Lấy D,E nằm trên AB,AC sao cho AH là phân giác của góc ∠DHE. Chứng minh ba đường thẳng AH,BE,CD đồng quy.

Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt HD,HE lần lượt tại M,N

Vậy: áp dụng định lý Ceva cho ΔABC⇒ ba đường thẳng AH,BE,CD thẳng hàng.