Cách chứng minh một số là số nguyên tố

Dưới đây là kiến thức nâng cao về cách chứng minh một số là số nguyên tố. Hãy cùng thầy Phú toploigiai khám phá và tìm hiểu những kiến thức bổ ích qua bài viết chi tiết dưới đây!

1. Cách chứng minh một số là số nguyên tố

Để chứng minh một số là số nguyên tố, ta chứng minh số đó không có ước nào khác 1 và chính nó

Ví dụ: Chứng minh số 37 là số nguyên tố.

Bước 1: Tính căn bậc hai của 37, khoảng 6.08.

Bước 2: Kiểm tra các số nguyên nhỏ hơn hoặc bằng 6, đó là 2, 3, và 5.

Bước 3: Kiểm tra xem 37 có chia hết cho 2, 3, hay 5 không. Ta thấy 37 không chia hết cho bất kỳ số nào trong số này.

=> Kết luận: 37 là số nguyên tố.

2. Bài tập và hướng dẫn giải

Bài tập 1: Chứng minh số 29 là số nguyên tố.

Lời giải:

Ta có thể nhận biết theo dấu hiệu trên như sau:

– Tìm các số nguyên tố p mà p² < 29: đó là các số nguyên tố 2, 3, 5 (7² = 49 > 29 nên ta dừng lại ở số nguyên tố 5).

– Thử các phép chia 29 cho các số nguyên tố trên. Rõ ràng 29 không chia hết cho số nguyên tố nào trong các số 2, 3, 5. Vậy 29 là số nguyên tố.

Bài tập 2: Hãy chứng minh rằng tích của hai số nguyên tố là một hợp số

Lời giải:

Tích của hai số nguyên tố giống nhau a.a có ước là 1;a;a²

Tích của hai số nguyên tố khác nhau a.b có 4 ước là 1;a;b;a.b

Vậy tích của hai số nguyên tố là một hợp số

Bài tập 3: Hãy xét xem các số tự nhiên từ 1991 đến 2005 số nào là số nguyên tố?

Lời giải:

– Trước hết ta loại bỏ các số chẵn: 1992, 1994, .. ., 2004

– Loại bỏ tiếp các số chia hết cho 3: 1995, 2001

– Ta còn phải xét các số 1991, 1993, 1997, 1999, 2003 số nguyên tố p mà p2 < 2005 là 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43.

– Số 1991 chia hết cho 11 nên ta loại.

– Các số còn lại 1993, 1997, 1999, 2003 đều không chia hết cho các số nguyên tố tên.

Vậy từ 1991 đến 2005 chỉ có 4 số nguyên tố là 1993, 1997, 1999, 2003.

Các bạn hãy cùng Toploigiai mở rộng hành trang tri thức của mình khám phá một số kiến thức mở rộng về số nguyên tố ngay sau đây!

>>> Số nguyên tố là gì?