Bài 9 trang 121 Toán lớp 11 Cánh diều

Bài 9 trang 121 Toán lớp 11 Cánh diều: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, C'D'.

a) Chứng minh rằng (A'DN) // (B'CM).

b) Gọi E, F lần lượt là giao điểm của đường thẳng D'B với các mặt phẳng (A'DN), (B'CM). Chứng minh rằng D'E = BF = 1/2 EF.

Lời giải:

a) Hình bình hành CDA'B' có: A'D // B'C

Mà B'C thuộc (B'CM)

Suy ra: A'D // (B'CM) (1)

Gọi P là trung điểm của A'B'

Dễ dàng chứng minh được AMB'P là hình bình hành

Do đó: B'M // AP

Ta có: PN // A'D' mà A'D' // AD nên PN // AD

PN = A'D' mà A'D' = AD nên PN = AD

Do đó: PADN là hình bình hành

Suy ra: AP // DN

Do đó: B'M // DN mà B'M thuộc (B'CM)

Suy ra: DN // (B'CM) (2)

(1)(2) suy ra (A'DN) // (B'CM)

b) Ta có: A'N cắt D'B' tại K

Có: DK cắt D'B

Mà DK thuộc (A'DN)

D'B cắt (A'DN) tại E

Do đó: DK cắt D'B tại E

Ta có: △A'KB' đồng dạng với △NKD' (do A'B' // D'N)

Suy ra: D′K/B′K=D′N/A′B′=1/2

Do đó: D′K/D′B′=1/3 mà D'B' = DB

Nên: D′K/DB=1/3

Có: △EDB đồng dạng với △EKD' (do DB // D'K)

Suy ra: D′KDB=D′EEB=1/3

Nên: D′E=1/3EB hay D′E=1/4D′B

Chứng minh tương tự ta được: BF=1/4D′B

Do đó: D'E = BF = 1/2EF.