Bài 7 trang 94 Toán lớp 11 Cánh diều

Bài 7 trang 94 Toán lớp 11 Cánh diều: Cho hình tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm cạnh CD. Gọi M, N lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD, CDA.

a) Chứng minh rằng các điểm M, N thuộc mặt phẳng (ABI).

b) Gọi G là giao điểm của AM và BN. Chứng minh rằng: GM/GA=GN/GB=1/3.

c) Gọi P, Q lần lượt là trọng tâm các tam giác DAB, ABC. Chứng minh rằng các đường thẳng CP, DQ cùng đi qua điểm G và GP/GC = GQ/GD = 1/3.

Lời giải:

a) Ta có: M là trọng tâm của △BCD, mà I là trung điểm của CD

Nên: M nằm trên trung tuyến BI (1)

Ta có: N là trọng tâm của △ACD, mà I là trung điểm của CD

Nên: N nằm trên trung tuyến AI (2)

Từ (1)(2) suy ra: M và N thuộc (ABI).

b) Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AG, BG.

Ta có: HK // AB. Mà AB // MN

Suy ra: MN // HK.

Theo định lý Ta-lét, ta có: GM/GH=GN/GK=MN/HK (1)

Ta có: HK/AB =1/2 , MN/AB=1/3

Do đó MNAB:HK/AB=2/3⇒MN/HK=2/3 (2)

(1)(2) suy ra: 

Chứng minh tương tự ta được: GN/GB=1/3 .

c) Gọi H, K lần lượt là trung điểm của BC, BD

△AHD có: HM/HD=HQ/HA=1/3

Suy ra: QM // AD

Do đó: Do đó: △QGM đồng dạng với △DGA

Nên D, G, Q thẳng hàng

Ta có: QM// AD nên QM/AD=HM/HD=HQ/HA=1/3

Mà QM/AD=QG/GD

Do đó: QG/GD=1/3

Chứng minh tương tự ta được: GP/GC=1/3