Bài 4 trang 109 Toán lớp 11 Cánh diều

Bài 4 trang 109 Toán lớp 11 Cánh diều: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng.

a) Chứng minh rằng (AFD) // (BEC).

b) Gọi M là trọng tâm của tam giác ABE. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng (AFD). Lấy N là giao điểm của (P) và AC. Tính AN/NC.

Lời giải:

a) Ta có: AD // BC (ABCD là hình bình hành)

Mà AD thuộc (AFĐ), BC thuộc (BEC)

Nên (AFD) // (BEC)

b) Trong (ABEF) kẻ đường thẳng d qua M // AF

Ta có: d cắt AB tại I, d cắt EF tại J (1)

Trong (ABCD) có I thuộc (P) mà (P) // (AFD)

Suy ra từ I kẻ IH // AD (2)

(1)(2) suy ra (IJH) trùng (P) và // (AFD)

Ta có: (P) cắt AC tại N mà AC thuộc (ABCD), IH thuộc (P) và (ABCD)

Suy ra: IH cắt AC tại N

Ta có các hình bình hành IBCH, IBEJ

Gọi O là trung điểm của AB

Có M là trọng tâm △ABE

Suy ra: MO/ME=1/2

Ta có: AB // CD suy ra: AI // CH

Định lí Ta-lét: AN/NC=AI/CH

mà CH = IB (IBCH là hình bình hành)

Suy ra: AN/NC=AI/IB

Ta có: AB // EF nên OI // EJ

Do đó: OI/EJ=MO/ME=12

Mà EJ = IB (IBEJ là hình bình hành)

Suy ra: OI/IB=1/2 hay IB = 2OI

Ta có: AN/NC=AI/IB=AO+OI / 2OI

Mà OA = OB (O là trung điểm AB)

Nên AN/NC=OB+OI / 2OI=2

Do đó: AN/NC=2.