Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử nâng cao

I. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử:

1. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung

+ Tìm nhân tử chung là các đơn thức, đa thức có mặt trong các hạng tử

+ Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng tử vào trong dấu ngoặc (kèm dấu của chúng)

Công thức:

AB + AC = A(B + C)

Ví dụ:

2. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức

+ Biến đổi đa thức ban đầu về dạng quen thuộc của hằng đẳng thức, sau đó sử dụng hằng đẳng thức để làm xuất hiện nhân tử chung

*Những hằng đẳng thức đáng nhớ:

(A + B)² = A² + 2AB + B²

(A - B)² = A² - 2AB + B²

A² - B² = (A + B)(A - B)

(A+B)³= A³ + 3A²B + 3AB² + B³

(A - B)³= A³ - 3A²B + 3AB²-B³

A³ + B³ = (A+B) (A² - AB + B²)

A³ - B³ = (A - B)(A² + AB + B²)

3. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử

+ Kết hợp các hạng tử thích hợp (có nhân tử chung hoặc tạo thành hằng đẳng thức) thành một nhóm

Ví dụ:

1. x² – 2xy + 5x – 10y = (x²– 2xy) + (5x – 10y) = x(x – 2y) + 5(x – 2y)

= (x – 2y)(x + 5)

2. x - 3+ y – 3y = (x - 3) + (y – 3y)

= ( - 3) + y( - 3)= (- 3)( + y)

4. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách thêm bớt 1 hạng tử hoặc tách hạng tử

+ Vận dụng thêm bớt hạng tử một cách linh hoạt để đưa về nhóm hạng tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức

Ví dụ:

a) 2x²-3x + 1

= 2x² - 2x - x +1

= 2x(x - 1) - (x - 1)

= (x - 1)(2x - 1)

5. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp

+ Sự dụng các phương pháp theo thứ tự ưu tiên: đặt nhân tử chung -> dùng hằng đẳng thức - > nhóm nhiều hạng tử

Ví dụ:

a) a³-a²b - ab² + b³ = a²(a - b) - b²(a - b)

=(a - b) (a² - b²)

= (a - b) (a - b) (a + b)

= (a - b)²(a + b)

II. Bài tập nâng cao về phân tích đa thức thành nhân tử

Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử

Bài 2: Tính giá trị của biểu thức dưới đây, biết : x² - x - 6 = 0

A= x⁴ + 2x³ + 2x² + 2x +1

Bài 3: Tìm x biết:

a. 3x² + 10x + 2 = 10

b. x⁴ + 2x³ - 4x =4

Bài 4: Chứng minh rằng nếu a² + b² = 2ab thì a = b

Bài 5: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a. (a² + a +1 ) (a² + a + 2) -12

b. (a - 2) (a - 4) (a - 6 )( a - 8)+16

III. Lời giải, đáp án bài tập nâng cao về phân tích đa thức thành nhân tử

Bài 1:

Bài 2:

Bài 3:

IV. Bài tập tự luyện phân tích đa thức thành nhân tử

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x²- y² - 2x + 2y

b) 2x + 2y - x² - xy

c) 3a²- 6ab + 3b² - 12c²

d) x² - 25 + y² + 2xy

e) a²+ 2ab + b² - ac - bc

f) x² - 2x - 4y² - 4y

g) x²y - x³- 9y + 9x

h) x²(x -1) + 16(1- x)

Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

1) 4x² – 25 + (2x + 7)(5 – 2x)

2) 3(x+ 4) – x² – 4x

3) 5x² – 5y² – 10x + 10y

4) x² – xy + x – y

5) ax – bx – a² + 2ab – b² 

6) x² + 4x – y² + 4

7) x³ – x² – x + 1

8) x⁴ + 6x²y + 9y² - 1

9) x³ + x²y – 4x – 4y

10) x³ – 3x² + 1 – 3x

Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử.

1. x²+ 2xy – 8y²+ 2xz + 14yz – 3z2²

2. 3x²– 22xy – 4x + 8y + 7y²+ 1

3. 12x²+ 5x – 12y²+ 12y – 10xy – 3

4. 2x²– 7xy + 3y²+ 5xz – 5yz + 2z²

5. x²+ 3xy + 2y²+ 3xz + 5yz + 2z²

6. x²– 8xy + 15y²+ 2x – 4y – 3

7. x⁴– 13x²+ 36

8. x⁴+ 3x²– 2x + 3

9. x⁴+ 2x³+ 3x² + 2x + 1

Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử:

1. (a – b)³+ (b – c)³+ (c – a)³

2. (a – x)y³– (a – y)x³– (x – y)a³

3. x(y²– z²) + y(z²– x²) + z(x² – y²)

4. (x + y + z)³– x³– y³ – z³

5. 3x⁵– 10x⁴– 8x³ – 3x² + 10x + 8

6. 5x⁴+ 24x³– 15x2 – 118x + 24

7. 15x³+ 29x²– 8x – 12

8. x4– 6x³+ 7x² + 6x – 8

9. x³+ 9x²+ 26x + 24

Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử.

1. a(b + c)(b²– c²) + b(a + c)(a²– c²) + c(a + b)(a² – b²)

2. ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a)

3. a(b²– c²) – b(a²– c²) + c(a² – b²)

4. (x – y)⁵+ (y – z)⁵+ (z – x)⁵

5. (x + y)⁷– x⁷– y⁷

6. ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) + abc

7. (x + y + z)⁵– x⁵– y⁵ – z⁵

8. a(b²+ c²) + b(c²+ a²) + c(a² + b²) + 2abc

9. a³(b – c) + b³(c – a) + c³(a – b)

10. abc – (ab + bc + ac) + (a + b + c) – 1