Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ

Cùng Top lời giải trả lời chính xác nhất cho câu hỏi trắc nghiệm: “Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ, các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon là ít nhất, tức là diện tích toàn phần hình trụ nhỉ nhất. Muốn thể tích khối trụ đó bằng 2 và diện tích toàn phần hình trụ nhỏ nhất thì bán kính đáy gần số nào nhất?” kết hợp với những kiến thức mở rộng về Mặt nón- mặt trụ - mặt cầu là tài liệu hay dành cho các bạn học sinh trong quá trình luyện tập trắc nghiệm.

Câu hỏi trắc nghiệm: 

Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ, các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon là ít nhất, tức là diện tích toàn phần hình trụ nhỉ nhất. Muốn thể tích khối trụ đó bằng 2 và diện tích toàn phần hình trụ nhỏ nhất thì bán kính đáy gần số nào nhất?

A. 0,7

B. 0,6

C. 0,8

D. 0,5

Trả lời:

Đáp án đúng: A. 0,7

Giải thích

Ta có 

 

thay vào (1) ta được:

khi r gần bằng 0,68.

Cùng Top lời giải trang bị thêm nhiều kiến thức bổ ích cho mình thông qua bài tìm hiểu về Mặt nón- mặt trụ - mặt cầu dưới đây nhé

Kiến thức mở rộng về Mặt nón- mặt trụ - mặt cầu

I. MẶT NÓN

1. Mặt nón tròn xoay

    Trong mặt phẳng (P), cho 2 đường thẳng d, Δ cắt nhau tại O và chúng tạo thành góc β với 0^o < β ≤ 90^o . Khi quay mp(P) xung quanh trục Δ với góc β không thay đổi được gọi là mặt nón tròn xoay đỉnh O (hình 1).

    - Người ta thường gọi tắt mặt nón tròn xoay là mặt nón.

    - Đường thẳng Δ gọi là trục, đường thẳng d được gọi là đường sinh và góc 2β gọi là góc ở đỉnh.

2. Hình nón tròn xoay

    Cho ΔOIM vuông tại I quay quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OIM tạo thành một hình, gọi là hình nón tròn xoay (gọi tắt là hình nón) (hình 2).

    - Đường thẳng OI gọi là trục, O là đỉnh, OI gọi là đường cao và OM gọi là đường sinh của hình nón.

    - Hình tròn tâm I, bán kính r = IM là đáy của hình nón.

3. Công thức diện tích hình nón và thể tích khối nón

    Cho hình nón có chiều cao là h, bán kính đáy r và đường sinh là l thì có:

    - Thể tích khối nón:

4. Tính chất:

- TH1: Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mp(P) đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:

+ Nếu mp(P) cắt mặt nón theo 2 đường sinh ⇒ Thiết diện là tam giác cân.

+ Nếu mp(P) tiếp xúc với mặt nón theo một đường sinh. Trong trường hợp này, người ta gọi đó là mặt phẳng tiếp diện của mặt nón.

- TH2: Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mp(Q) không đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:

+ Nếu mp(Q) vuông góc với trục hình nón ⇒ giao tuyến là một đường tròn.

+ Nếu mp(Q) song song với 2 đường sinh hình nón giao tuyến là 2 nhánh của 1 hypebol.

+ Nếu mp(Q) song song với 1 đường sinh hình nón giao tuyến là 1 đường parabol.

II. MẶT CẦU

1. Định nghĩa:

Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm O cố định một khoảng không đổi r (r>0) được gọi là một mặt cầu tâm O bán kính r.

Kí hiệu: S(O;R)={M|OM=R}

* Cho mặt cầu S(O;r) và điểm A trong không gian.

- Nếu OA=r thì điểm A nằm trên mặt cầu

- Nếu OA<r thì điểm A nằm trong mặt cầu.

- Nếu OA>r thì điểm A nằm ngoài mặt cầu.

2. Tính chất:

Nếu điểm A ngoài mặt cầu S(O;r) thì:

- Qua A có vô số tiếp tuyến với mặt cầu.

- Độ dài các đoạn thẳng nối AA với các tiếp điểm đều bằng nhau.

- Tập hợp các tiếp điểm là một đường tròn nằm trên mặt cầu.

3. Giao của mặt cầu với mặt phẳng

Cho mặt cầu (S) tâm O, bán kính R và mặt phẳng (P), gọi H là hình chiếu của O trên (P).

+ Nếu OH<R thì (S) cắt (P) theo đường tròn tâm H và bán kình r=√(R²−OH²)

+ Nếu OH=R thì (S) tiếp xúc (P) tại tiếp điểm H.

+ Nếu OH>R thì (S) và (P) không có điểm chung.

Đặc biệt: Nếu OH=0(O≡H) thì đường tròn giao tuyến của (P) và (S) được gọi là đường tròn lớn, (P) được gọi là mặt phẳng kính.

4. Giao của mặt cầu với đường thẳng.

Cho mặt cầu (S) tâm O, bán kính R và đường thẳng d, gọi H là hình chiếu của O trên d.

+ Nếu OH<R thì (S) cắt d tại 2 điểm phân biệt.

+ Nếu OH=R thì (S) cắt d tại một điểm duy nhất H. (dd là tiếp tuyến với mặt cầu, H là tiếp điểm)

+ Nếu OH>R thì (S) và d không có điểm chung.

5. Tiếp tuyến với mặt cầu

- Qua một điểm nằm trong mặt cầu không vẽ được tiếp tuyến nào với mặt cầu.

- Qua một điểm nằm trên mặt cầu vẽ được vô số tiếp tuyến với mặt cầu tại điểm đó. Tập hợp các tiếp tuyến chính là mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu.

- Qua một điểm nằm ngoài mặt cầu vẽ được vô số tiếp tuyến với mặt cầu. Tập hợp các tiếp điểm với mặt cầu là đường tròn nằm trên mặt cầu.

6. Công thức diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu

Mặt cầu bán kính r có diện tích là S=4πr²

Khối cầu bán kính r có thể tích là V=43πr³

III. MẶT TRỤ

1. Mặt trụ tròn xoay

    Trong mp(P) cho hai đường thẳng Δ và l song song nhau, cách nhau một khoảng r. Khi quay mp(P) quanh trục cố định Δ thì đường thẳng l sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay hay gọi tắt là mặt trụ.

    - Đường thẳng Δ được gọi là trục.

    - Đường thẳng l được gọi là đường sinh.

    - Khoảng cách r được gọi là bán kính của mặt trụ.

2. Hình trụ tròn xoay

    Khi quay hình chữ nhật ABCD xung quanh đường thẳng chứa một cạnh, chẳng hạn cạnh AB thì đường gấp khúc ABCD tạo thành một hình, hình đó được gọi là hình trụ tròn xoay hay gọi tắt là hình trụ.

    - Đường thẳng AB được gọi là trục.

    - Đoạn thẳng CD được gọi là đường sinh.

    - Độ dài đoạn thẳng AB = CD = h được gọi là chiều cao của hình trụ.

    - Hình tròn tâm A, bán kính r = AD và hình tròn tâm B, bán kính r = BC được gọi là 2 đáy của hình trụ.

    - Khối trụ tròn xoay, gọi tắt là khối trụ, là phần không gian giới hạn bởi hình trụ tròn xoay kể cả hình trụ.

3. Công thức tính diện tích hình trụ và thể tích khối trụ

    Cho hình trụ có chiều cao là và bán kính đáy bằng r, khi đó:

    - Diện tích xung quanh của hình trụ: S_xq = 2πrh

    - Diện tích toàn phần của hình trụ: S_tp = S_xq + 2.S_Đay = 2πrh + 2πr²

    - Thể tích khối trụ: V = B.h = πr²h

4. Tính chất

    - Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là r) bởi một mp(α) vuông góc với trục Δ thì ta được đường tròn có tâm trên α và có bán kính bằng r với r cũng chính là bán kính của mặt trụ đó.

    - Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là r) bởi một mp(α) không vuông góc với trục Δ nhưng cắt tất cả các đường sinh, ta được giao tuyến là một đường elíp có trụ nhỏ bằng 2r và trục lớn bằng 2r/sinφ, trong đó φ là góc giữa trục Δ và mp(α) với 0⁰ < φ < 90⁰.

    - Cho mp(α) song song với trục Δ của mặt trụ tròn xoay và cách Δ một khoảng d.

        + Nếu d < r thì mp(α) cắt mặt trụ theo hai đường sinh ⇒ thiết diện là hình chữ nhật.

        + Nếu d = r thì mp(α) tiếp xúc với mặt trụ theo một đường sinh.

        + Nếu d > r thì mp(α) không cắt mặt trụ.