Bài 3 (trang 130 SGK Toán 8 tập 2)
Chứng minh rằng hiệu các bình phương của hai số lẻ bất kì thì chia hết cho 8.
Lời giải:
Gọi 2 số lẻ bất kì là 2a + 1 và 2b + 1 (a, b ∈ Z).
Hiệu bình phương của 2 số lẻ đó bằng:
(2a + 1)2 – (2b + 1)2
= (4a2 + 4a + 1) – (4b2 + 4b + 1)
= (4a2 + 4a) – (4b2 + 4b)
= 4a(a + 1) – 4b(b + 1)
Tích của 2 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2
⇒ a.(a + 1) ⋮ 2 và b.(b + 1) ⋮ 2.
⇒ 4a(a + 1) ⋮ 8 và 4b(b + 1) ⋮ 8
⇒ 4a(a + 1) – 4b(b + 1) ⋮ 8.
Vậy (2a + 1)2 – (2b + 1)2 chia hết cho 8 (đpcm).
Tham khảo toàn bộ: Giải Toán 8