Bài 5 trang 156 SGK Đại số 11
Viết phương trình tiếp tuyến đường cong y=x3.
a) Tại điểm (-1; -1);
b) Tại điểm có hoành độ bằng 2;
c) Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3.
Lời giải
Hướng dẫn
a) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm có hoành độ x = x0 là: y = f′(x0)(x − x0) + f(x0)
b) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm có hoành độ x = x0 là: y = f′(x0)(x−x0) + f(x0)
c) Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0 là f′(x0)=3.
Giải phương trình tìm x0, từ đó viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=f(x) tại điểm có hoành độ x=x0.
Với mọi x0 ∈ R ta có:
a) Tiếp tuyến của y = x3 tại điểm (-1; -1) là:
y = f’(-1)(x + 1)
= 3.(-1)2(x + 1) – 1
= 3.(x + 1) – 1
= 3x + 2.
Vậy phương trình tiếp tuyến là: y = 3x + 2
b) x0 = 2
⇒ y0 = f(2) = 23 = 8;
⇒ f’(x0) = f’(2) = 3.22 = 12.
Vậy phương trình tiếp tuyến của y = x3 tại điểm có hoành độ bằng 2 là :
y = 12(x – 2) + 8 = 12x – 16.
c) k = 3
⇔ f’(x0) = 3
⇔ 3x02 = 3
⇔ x02 = 1
⇔ x0 = ±1.
+ Với x0 = 1 ⇒ y0 = 13 = 1
⇒ Phương trình tiếp tuyến : y = 3.(x – 1) + 1 = 3x – 2.
+ Với x0 = -1 ⇒ y0 = (-1)3 = -1
⇒ Phương trình tiếp tuyến : y = 3.(x + 1) – 1 = 3x + 2.
Vậy có 2 phương trình tiếp tuyến của đường cong y = x3 có hệ số góc bằng 3 là y = 3x – 2 và y = 3x + 2.
Xem toàn bộ Giải Toán 11: Bài 1. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm