Bài 142 trang 97 sbt Toán 8 tập 1

Bài 11: Hình thoi

Bài 142 trang 97 sbt Toán 8 tập 1

Cho hình bình hành ABCD, các đường chéo cắt nhau tại O. Gọi E,F,G,H theo thứ tự là giao điểm của các đường phân giác của tam giác AOB, BOC, COD, DOA. Chứng minh rằng EFGH là hình thoi.

Lời giải:

Ta có: ∠(AOB) = ∠(COD) (đối đỉnh)

∠(EOB ) = 1/2 ∠(AOB) (gt)

∠(COG) = 1/2 ∠(COD) (gt)

Suy ra: ∠(EOB ) = ∠(COD)

∠(EOB) +∠(BOC) +∠(COG) = 2 ∠(EOB) + ∠(BOC)

Mà ∠(AOB ) + ∠(BOG) = 180^o ( kề bù).Hay 2 ∠(EOB) + ∠(BOC ) = 180^o

Suy ra: E,O,G thẳng hàng

Ta lại có: ∠(BOC) = ∠(AOD ) ( đối đỉnh)

∠(HOD) = 1/2 ∠(AOD) (gt)

∠(FOC) = 1/2 ∠(BOC) (gt)

Suy ra: ∠(HOD) = ∠(FOC)

∠(HOD) + ∠(COD ) + ∠(FOC) = 2 ∠(HOD) + ∠(COD)

Mà ∠(AOD) + ∠(COD) = 180^o ( kề bù). Hay 2 ∠(HOD) + ∠(COD) = 180^o

Suy ra: H, O, F thẳng hàng

∠(ADO) = ∠(CBO) ( so le trong)

∠(HDO) = ∠(FBO) ( chứng minh trên)

OD = OB ( t/chất hình bình hành)

∠(HOD) = ∠(FOB ) ( đối đỉnh)

Do đó: ΔBFO = ΔDHO (g.c.g)

⇒ OF = OH

∠(OAB) = ∠(OCD) ( so le trong)

∠(OAE) = 1/2 ∠(OAB ) (gt)

∠(OCG) = 1/2 ∠(OCD) (gt)

Suy ra: ∠(OAE) = ∠(OCG)

Xét ΔOAE và ΔOCG,ta có :

∠(OAE) = ∠(OCG) ( chứng mình trên)

OA = OC ( t/chất hình bình hành)

∠(EOA) = ∠(GOC) ( đối đỉnh)

Do đó: ΔOAE= ΔOCG (g.c.g) ⇒ OE = OG

Suy ra tứ giác EFGH là hình bình hành ( vì có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)

OE ⊥ OF tính chất hai góc kề bù) hay EG ⊥ FH

Vậy tứ giác EFGH là hình thoi

Xem toàn bộ Giải SBT Toán 8: Bài 11: Hình thoi