Bài 12 trang 71 SGK Hình học 10 nâng cao

Ôn tập Chương 2

Bài 12 (trang 71 SGK Hình học 10 nâng cao)

Cho đường tròn (0;R) và 1 điểm p cố định trong đường tròn. Hai dây cung thay đổi AB và CD luôn đi qua p vồ vuông góc với nhau

a) Chứng minh rằng AB²+ CD²không đổi;

b) Chứng minh rằng PA²+ PB²+ PC² + PD² . không phụ thuộc vào vị trí của P.

Lời giải:

a) Gọi E; F theo thứ tự lần lượt là trung điểm của AB và CD. Ta có:

AB² + CD² = (2AE)² + 2(CF)²

= 4 (AO² - OE² + CO² - OF²)

= 4 (2R² - (OE² + OF²))

= 4(2R² - OP²) = 8R² – 4OP² không đổi.

b) Ta có:

PA² + PB² + PC² + PD² = (PA + PB)² + (PC +PD)² - 2PA.PB - 2PC.PD

= (PA + PB)² + (PC +PD)² + 2PA.PB + 2PC.PD

= AB² + CD² + 4PP/(O)

= 8R² - 4P0² + 4(PO² - R²) = 4R² không đổi.

Tham khảo toàn bộ: Giải bài tập Toán 10 nâng cao