Công thức tính nhanh số điểm dao động cực đại, cực tiểu

A. Công thức tính nhanh số điểm dao động cực đại/cực tiểu

B.  Các dạng bài tập có lời giải

1. Tìm số điểm dao động cực đại và cực tiểu giữa hai nguồn S₁, S₂ cùng pha

Ví dụ 1: Trong một thí nghiệm về giao thoa sóng trên mặt nước, hai nguồn kết hợp S₁ và S₂ cách nhau 10 cm dao động cùng pha và có bước sóng 2 cm. Coi biên độ sóng không đổi khi truyền đi. Tìm số điểm dao động với biên độ cực đại, số điểm dao động với biên độ cực tiểu quan sát được trên khoảng nối giữa hai nguồn.

Hướng dẫn giải:

2. Tìm số điểm dao động cực đại và cực tiểu giữa hai nguồn S₁, S₂ ngược pha: (∆φ = φ1 – φ2 = π)

Ví dụ 2: Hai nguồn kết hợp A và B cách nhau 50mm lần lượt dao động theo phương trình u1 = acos200πt(cm) và u₂ = acos(200πt + π )(cm) trên mặt thoáng của thuỷ ngân. Xét về một phía của đường trung trực của AB, người ta thấy vân bậc k đi qua điểm M có MA – MB = 12mm và vân bậc (k + 3) (cùng loại với vân bậc k) đi qua điểm N có NA – NB = 36mm. Số điểm cực đại giao thoa trên đoạn AB là

A. 12.    B. 13.    C. 11.    D. 14.

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Vì hai nguồn ngược pha nên điều kiện cực tiểu cho điểm bất kỳ: d1 – d2 = kλ và vân cực tiểu có bậc k.

Ta có: MA – MB = 12mm = kλ; NA – NB = 36mm = (k + 3)λ

→ 3λ = 36 – 12 = 24mm → λ = 8mm.

Số điểm dao động cực đại (không tính hai nguồn) trên đoạn AB được xác định như sau:

Vì k ∈ Z nên k = -6; -5; ...;-1; 0; 1; ...; 5. Vậy có 12 điểm cực đại giao thoa trên AB.

3. Tìm số điểm dao động cực đại và cực tiểu giữa hai nguồn vuông pha ∆φ = (2k+1)π/2 (Số cực đại = Số cực tiểu)

Nhận xét: số điểm cực đại và cực tiểu trên đoạn AB là bằng nhau nên có thể dùng 1 công thức là đủ => Số giá trị nguyên của k thoả mãn các biểu thức trên là số đường cần tìm.

Ví dụ 3: Trên mặt nước có hai nguồn kết hợp S₁, S₂ cách nhau 10(cm) dao động theo các phương trình: u₁ = 0,2cos(50πt + π) cm và u₂ = 0,2cos(50πt + π/2) cm. Biết vận tốc truyền sóng trên mặt nước là 0,5(m/s). Tính số điểm cực đại và cực tiểu trên đoạn S₁S₂.

A. 8 và 8    B. 9 và 10     C. 10 và 10    D. 11 và 12

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Bước sóng: λ = v/f = 0,5/25 = 0,02m = 2cm

Số điểm dao động cực đại, số điểm dao động cực tiểu:

4. Tìm số điểm dao động với biên độ cực đại, cực tiểu giữa hai điểm bất kỳ hoặc trên một đường với dạng hình học đã biết.

Các bài toán trên luôn sử dụng bài toán tìm số cực đại và cực tiểu trên đoạn thẳng nối hai điểm M và N trong vùng có giao thoa (M gần S₁ hơn S₂ còn N thì xa S₁ hơn S₂), đó là số các giá trị của k (k ∈ Z) tính theo công thức sau (không tính hai nguồn):

* C dao động cực đại khi độ lệch pha của hai sóng từ hai nguồn tại C thỏa mãn:

Ta suy ra các công thức cho các trường hợp đặc biệt sau đây:

Chú ý: Trong các công thức trên nếu M hoặc N trùng với nguồn thì không dùng dấu “=” (chỉ dùng dấu <) Vì nguồn là điểm đặc biệt không phải là điểm cực đại hoặc cực tiểu.

a) Xác định số điểm cực đại, cực tiểu trên đoạn thẳng PQ tạo với hai nguồn S₁, S₂ một hình vuông hoặc hình chữ nhật.

Giải bất phương trình suy ra số giá trị k ∈ Z bằng số điểm cực tiểu trên đoạn PQ.

Ví dụ 4: Ở mặt thoáng của một chất lỏng có hai nguồn kết hợp A và B cách nhau 20 cm dao động theo phương thẳng đứng với phương trình u_A = 2cos40πt mm và u_B = 2cos(40πt + π) mm Biết tốc độ truyền sóng trên mặt chất lỏng là 30 cm/s. Xét hình vuông ABCD thuộc mặt chất lỏng. Số điểm dao động với biên độ cực đại trên đoạn CD là:

A. 12    B. 18    C. 15    D. 20

Hướng dẫn giải:

b) Xác định số điểm cực đại, cực tiểu trên đoạn thẳng là đường chéo của một hình vuông hoặc hình chữ nhật.

Xác định số điểm dao động cực đại, cực tiểu trên đoạn S₁Q, biết PQS₂S₁ là hình vuông với S₁, S₂ là hai nguồn.

* Giả sử tại C dao động cực đại, số điểm C được xác định như sau:

(vế trái ta dùng dấu “ < “ do trên đoạn S₁Q có S₁ trùng với nguồn)

Giải bất phương trình suy ra số giá trị k ∈ Z bằng số điểm cực đại trên đoạn S₁Q.

* Tương tự ta tìm được số điểm cực tiểu trên đoạn S₁Q qua điều kiện sau:

Ví dụ 5: Ở mặt thoáng của một chất lỏng có hai nguồn kết hợp A và B cách nhau 20 cm dao động theo phương thẳng đứng với phương trình u_A = 2cos40πt mm và u_B = 2cos(40πt + π/2) Biết tốc độ truyền sóng trên mặt chất lỏng là 30 cm/s. Xét hình vuông ABCD thuộc mặt chất lỏng. Số điểm dao động với biên độ cực đại trên đoạn BD là:

A. 17     B. 18     C. 19     D. 20

Hướng dẫn giải:

c) Xác định số điểm cực đại, cực tiểu trên đường thẳng vuông góc với hai nguồn S₁S₂. 

* Số điểm dao động cực đại trên đường ∆ vuông góc với S₁S₂ tại điểm P xác định chính là số giao điểm của các đường Hyperpol cực đại trong đoạn OP (không tính điểm O nếu có) với ∆.

Do vậy ta quy bài toán về bài toán tìm số cực đại trên đoạn OP, sau đó tìm số giao điểm của các đường Hyperpol đi qua các điểm cực đại trên với ∆.

Giả sử từ bất phương trình trên ta tìm được n giá trị k nguyên.

Lưu ý: Không lấy dấu ‘=’ cho vế trái vì nếu có đường cực đại đi qua O thì nó là đường trung trực không cắt ∆ được. Nếu P trùng với 1 trong hai nguồn thì ta bỏ dấu ‘=’ ở vế phải.

+ Nếu m₂ ϵ Z thì có 1 đường cực đại đi qua P tiếp xúc với ∆, do đó số điểm cực đại trên ∆ là N_cđ = 2(n – 1) + 1.

+ Nếu m₂ ∉ Z thì không có đường cực nào tiếp xúc với ∆, do đó số điểm cực đại trên ∆ là N_cđ = 2.n.

* Làm tương tự cho trường hợp tìm số điểm cực tiểu trên ∆.

Ví dụ 6: Trên mặt nước có hai nguồn A và B cách nhau 5 cm, có phương trình lần lượt là u₁ = acos(ωt - π/2), u₂ = acos(ωt + π/2) Trên nửa đường thẳng Bx qua B, vuông góc AB, điểm không dao động cách B xa nhất là 12cm. Tìm tổng số cực đại và cực tiểu trên Bx.

A. 8.     B. 9.     C. 7.     D. 11.

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Vì hai nguồn ngược pha nên đường trung trực của AB là đường cực tiểu bậc 0. Do đó điểm trên Bx không dao động cách B xa nhất là C giao điểm của cực tiểu bậc 1 với Bx.

d) Tìm số điểm dao động với biên độ cực đại, cực tiểu tiểu trên đường tròn (hoặc tìm số điểm dao động với biên độ cực đại, cực tiểu trên đường elip, hình chữ nhật, hình vuông, parabol… )

* Phương pháp chung: Ta quy bài toán về bài toán tính số điểm cực đại hoặc cực tiểu trên đoạn MN chứa các đường hyperpol cực đại hoặc cực tiểu luôn cắt các đường biên bao quanh có dạng hình học đã cho. Sau đó ta tìm số giao điểm là xác định được số điểm cần tìm.

Ví dụ nếu đường bao quanh là đường tròn thì số điểm cực đại hoặc cực tiểu trên đường tròn là 2n (n là số điểm tìm được trên đoạn MN, có chú ý tới các trường hợp đặc biệt). Do mỗi đường cong hyperbol cắt đường tròn tại 2 điểm.

Ví dụ 7: Trên bề mặt chất lỏng cho 2 nguồn S₁, S₂ dao động vuông góc với bề mặt chất lỏng có phương trình dao động uS1 = 3cos(10πt) cm và u_S2 = 3cos(10πt + π/3) cm. Tốc độ truyền sóng trên mặt nước là 50 cm/s. Biết khoảng cách S₁S₂ là 30 cm. Cho điểm C trên đoạn S₁S₂, cách S₁ khoảng 18cm và cách S₂ 12 cm. Vẽ vòng tròn đường kính 10 cm, tâm tại C. Số điểm dao động với biên độ cực đại trên đường tròn là:

A. 6    B. 4    C. 8    D. 7

Hướng dẫn giải:

Vì k ∈ Z nên k = 0; 1. Do đó có 2 điểm cực đại giao thoa trên MN tương ứng với hai đường hyperbol cực đại cắt đường tròn tại 4 điểm.

Ví dụ 8: Ở mặt thoáng của một chất lỏng có hai nguồn sóng kết hợp A và B cách nhau 20 cm, dao động theo phương thẳng đứng với phương trình u_A = 2cos40πt và u_B = 2cos(40πt + π) (u_A và u_B tính bằng mm, t tính bằng s). Biết tốc độ truyền sóng trên mặt chất lỏng là 30 cm/s. Xét hình vuông ABMN thuộc mặt thoáng chất lỏng. Số điểm dao động với biên độ cực đại trên hình vuông ABMN là:

A. 26.     B. 52.     C. 37.     D. 50.

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Ta nhận thấy tất cả các đường hyperbol cực đại trên đoạn nối hai nguồn AB đều cắt hình vuông ABMN tại hai điểm. Do vậy ta quy bài toán về tìm số điểm cực đại trên đoạn AB.

Số điểm dao động cực đại trên AB được xác định như sau:

Vì k ∈ Z nên k = -13; -12; ...;-1; 0; 1; ...; 12. Do đó có 26 điểm cực đại giao thoa trên AB tương ứng với 26 đường hyperbol cực đại cắt hình vuông tại 52 điểm.