Các dạng bài tập Dao đông điều hòa

Dạng 1: Xác định các đại lượng đặc trưng trong bài tập dao động điều hòa

1. Phương pháp

Đây là dạng toán xác định đại lượng như biên độ A, vận tốc góc ω, chu kỳ, tần số, pha ban đầu từ một số dữ kiện cho trước ... bằng cách đồng nhất với phương trình dao động điều hòa chuẩn.

- Dao động điều hòa được xem là một dao động mà li độ của vật được mô tả bằng hàm cosin hay sin theo biến thời gian. Một cách khác, một dao động điều hòa có phương trình là nghiệm của phương trình vi phân: x’’ + ω²x = 0 có dạng như sau:

x = Acos(ωt + φ)

Trong đó:

+ x: Li độ, li độ là khoảng cách từ vật đến vị trí cân bằng ( Đơn vị độ dài)

+ A: Biên độ (li độ cực đại) ( Đơn vị độ dài)

+ ω: Vận tốc góc (rad/s)

+ ωt + φ: Pha dao động (rad/s) tại thời điểm t, cho biết trạng thái dao động của vật ( gồm vị trí và chiều )

+ φ : Pha ban đầu (rad) tại thời điểm t = 0s, phụ thuộc vào cách chọn gốc thời gian, gốc tọa độ.

Chú ý: φ, A là những đại lượng hằng, lớn hơn 0.

- Phương trình vận tốc v (m/s)

v = x’ = ωAcos(ωt + φ + π/2)

Suy ra: v_max = ωA Tại vị trí cân bằng x = 0, vmin = 0 đạt được tại 2 biên.

* Nhận xét: Xét 1 dao động điều hoà, ta có vận tốc sẽ sớm pha hơn li độ góc π/2.

- Phương trình gia tốc a (m/s²)

a = v’ = x’’ = a = - ω²x = ω²Acos(ωt + φ + π/2)

suy ra: a_max = ω²A tại 2 biên, amin = 0 tại vtcb x = 0

Nhận xét: dựa vào các biểu thức trên, khi xét 1 dao động điều hòa ta có gia tốc ngược pha với li độ và sớm pha hơn vận tốc góc π/2

- Chu kỳ: T = 2/ω

Định nghĩa chu kì là thời gian để vật thực hiện được một dao động hoặc thời gian ngắn nhất để trạng thái dao động lặp lại như cũ.

- Tần số: f = ω/2 = 1/T

Định nghĩa tần số là số dao động vật thực hiện được trong một giây. Tần số là nghịch đảo của chu kì dao động.

2. Ví dụ

 Xét dao động điều hòa có V_max = 16π (mm/s), amax = 64 (cm/s² ). Xấp xỉ π² = 10. Khi vật đi qua li độ x = -A/2 thì có tốc độ bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Để tính được tốc độ, ta cần xác định phương trình dao động trước.

Chú ý: amax = 64 cm/s² = 640 mm/s² = 642 mm/s²

Ta có: ω = amax / vmax = 64π²/16π = 4π (rad/s)

Biên độ dao động điều hòa A=v_max /ω = 4 (mm)

Ta có công thức liên hệ giữa vận tốc và li độ như sau: x² + v²/ ω² = A². Suy ra tốc độ (chú ý tốc độ sẽ luôn dương, vì vậy sẽ bằng trị tuyệt đối của vận tốc)

Dạng 2: Tìm quãng đường vật đi được trong các bài tập dao động điều hòa

1. Phương pháp

a) Loại 1: Bài toán xác định quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian Δt.

Chú ý:

+ Trong thời gian t = 1T vật đi được quãng đường S = 4A

+ Trong thời gian nửa chu kỳ T vật đi được quãng đường S = 2A

- Bước 1: Xác định vị trí hoặc thời điểm t₁, t₂ cho trước trên đường tròn. Tìm Δt, Δt = t₂ - t₁.

- Bước 2: Tách Δt = n.T + t* ⇔ Δφ = n.vong + φ*

- Bước 3: Tìm quãng đường. S = n.4.A + S*.

Căn cứ vào vị trí và chiều chuyển động của vật tại t₁ và t₂ để tìm ra S₃

b) Loại 2: Bài toán xác định S_max - S_min vật đi được trong khoảng thời gian Δt (Δt < T/2 )

Nhận xét:

    + Quãng đường max đối xứng qua VTCB

    + Quãng đường min thì đối xứng qua biên

BẢNG TÍNH NHANH CÁC GIÁ TRỊ CỰC ĐẠI – CỰC TIỂU CỦA QUÃNG ĐƯỜNG

Δt	T/6	T/4	T/3	T/2	2T/3	3T/4	5T/6	T
Smax	A	A√2	A√3	2A	2A + A	2A + A√2	2A + A√3	4A
Smin	2A - A√3	2A - A√2	A	2A	4A - A√3	4A - A√2	3A	4A

2.Ví dụ

Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 6cos(4πt + π/3) cm. Tính quãng đường vật đi được sau 1 s kể từ thời điểm ban đầu.

A. 24 cm          B. 60 cm          C. 48 cm         D. 64 cm

Lời giải:

Ta có: T = 2π/ ω = 0,5s ⇒ Δt/T = 1/0,5 = 2

⇒ Δt = 2T

⇒ S = 2. 4A = 48cm

Dạng 3: Tính toán tốc độ trung bình, vận tốc trung bình trong bài tập dao động điều hòa

1. Phương pháp

a) Tổng quát:

v = S/t

Trong đó:

- S: quãng đường đi được trong khoảng thời gian t

- t: là thời gian vật đi được quãng đường S

b. Bài toán tính tốc độ trung bình cực đại của vật trong khoảng thời gian t:

v_max = S_max/t

c. Bài toán tính tốc độ trung bình nhỏ nhất vật trong khoảng thời gian t.

v_min = S_min/t

d. Vận tốc trung bình

v_tb = Δx/t

Trong đó:

+ Δx: là độ biến thiên độ dời của vật

+ t: thời gian để vật thực hiện được độ dời Δx

2. Ví dụ

Một vật dao động điều hòa theo phương trình x = 2cos(2πt + π/4) cm. Tốc độ trung bình của vật trong khoảng thời gian từ t = 2s đến t = 4,875s là:

A. 7,45m/s          B. 8,14cm/s         C. 7,16cm/s          D. 7,86cm/s

Lời giải: 

- Bước 1: Tính quãng đường S trong khoảng thời gian Δt = t₂ - t₁ = 2,875s

- Bước 2: Tính tốc độ trung bình: v = S/ Δt = 8,14 cm/s