Cách tìm tập xác định của hàm số mũ, lũy thừa, logarit

A. Hàm số mũ và hàm số logarit

1. Khái niệm hàm số mũ và hàm số logarit

Định nghĩa :

Giả sử a là số dương và khác 1.

Hàm số dạng y= a^x được gọi là hàm số mũ cơ số a.

Hàm số dạng y= log_ax được gọi là hàm sỗ logarit cơ số a.

2. Một số giới hạn liên quan đến hàm số mũ ; hàm sỗ logarit

Định lí 1 

3. Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số logarit

3.1. Đạo hàm của hàm số mũ.

Định lí 2

a/ cho hàm số y= a^x có đạo hàm tại mọi số thực x và

(a^x)’= a^x. Lna

Đặc biệt ( e^x)’= e^x

b/ Nêú hàm số u= u(x) có đạo hàm trên J thì hàm số y= a^u(x) có đạo hàm trên J và

( a^u(x) )’= u’(x) .a^u(x) . lna

Đặc biệt: (e^u(x) )’= u’(x).e^u(x)

3.2. Đạo hàm của hàm số logarit.

4. Sự biến thiên và đồ thị của hàm số mũ và hàm số logarit

a.Hàm số mũ y= a^x (a > 0; a ≠ 1).

• Tập xác định: D = R.

• Tập giá trị: T = (0; +∞).

• Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến.

Có đồ thị:

+ Đi qua điểm (0;1)

+ Nằm phía trên trục hoành.

+Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang.

• Hình dạng đồ thị:

b. Hàm số logarit y= log_ax (a > 0; a ≠ 1)

• Tập xác định: D = (0; +∞).

• Tập giá trị: T = R.

• Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến.

• có đồ thị:

+ Đi qua điểm (1; 0)

+ Nằm ở bên phải trục tung

+Nhận trục tung làm tiệm cận đứng.

• Hình dạng đồ thị:

B. Hàm số lũy thừa

1. Khái niệm hàm số lũy thừa

Hàm số có dạng y= x^α với α là một hằng số tùy ý được gọi là hàm số lũy thừa.

Nhận xét:

Tập xác định của hàm số y= x^α là:

+ D= R nếu α là số nguyên dương.

+ D= R\{0} với α nguyên âm hoặc bằng 0

+ D= (0; +∞) với α không nguyên.

2. Đạo hàm của hàm số lũy thừa:

Định lí:

a. Hàm số lũy thừa y= x^α  với mọi α có đạo hàm tại mọi điểm x > 0 và: (x^α)' = ax^α-1

b. Nếu hàm số u= u(x) nhận giá trị dương có đạo hàm trên J thì hàm số y= u^α(x) cũng có đạo hàm trên J và

    ( u^α(x))' = au^α-1(x).u'(x)

Chú ý

3. Vài nét về sự biến thiên và đồ thị của hàm số lũy thừa

C. Cách tìm tập xác định của hàm số mũ, hàm số lũy thừa, hàm số Logarit

Bài toán 1: Tập xác định của hàm lũy thừa, hàm vô tỷ

Xét hàm số y = [f(x)]^α

    • Khi α nguyên dương: hàm số xác định khi và chỉ khi f(x) xác định: D = R

    • Khi α nguyên âm hoặc α = 0: hàm số xác định khi và chỉ khi f(x) ≠ 0: D=R\{0}

    • Khi α không nguyên: hàm số xác định khi và chỉ khi f(x) > 0. D = (0,+∞)

* Tập xác định của hàm số mũ

Phương pháp:

- Đối với hàm số mũ y = a^x, (a>0, a#1) có tập xác định trên R. Nên khi bài toán yêu cầu tìm tập xác định của hàm số mũ y = a^f(x), (a>0, a#1)ta chỉ cần tìm điều kiện để f(x) có nghĩa (xác định)

Bài toán 2: Tập xác định của hàm số logarit

D. Ví dụ bài tập và lời giải