Bài tập toán cao cấp A1 (có lời giải)

Bài tập toán cao cấp A1 (có lời giải)

Bài tập 1: Tìm tập các nghiệm của hệ phương trình hay bất phương trình dưới đây và biểu diễn chúng trên mat phẳng tọa độ :

c) 3x - y = 0 

d) 3x - y > 0

e) 3x - y < 0

Lời giải: 

Bằng cách giải các hệ phương trình và bất phương trình ta suy ra:

a) {(2, 1)};

b) {(x, y) | x tùy ý, y = 3x - 2) đường thẳng y = 3x - 2.

c) ((x, y) | x tùy ý, y = 3x} đường thẳng y = 3x.

d) {(x, y) | x tùy ý, y < 3x).

   Các điểm (x, y) nằm dưới đường thång y = 3x.

e) {(x, y) | x tùy ý, y > 3x}.

   Các điểm (x, y) nàm trên đường thång y = 3x.

Bài tập 2: 

1) Chứng minh ràng hợp của hai tập hữu hạn là một tập hữu hạn.

2) Chứng minh ràng hợp của một số đếm được các tập hữu hạn là một tập đếm được.

Lời giải:

1) Giá sử A có n phần tử, B có m phẩn từ

                     A = {x₁, x₂, …, x_n}

                     B = {y₁, y₂, …, y_m}

Khi đó A U B có nhiều nhất n + m phần tử, nên nó là một tập hữu hạn.

2) Giả sử

A₁, A₂,…, Am, …là các tập hữu hạn, A, có n_i, phần tử:

A₁ = {x₁₁, x₁₂, …, x_1n}

A₂ = {x₂₁, x₂₂, …, x_2n}

………………………

A_m = {x_m1, x_m2, …, x_mn}

……………………….

Xét tập B như sau:

Khi đó giữa hợp của các A_i

                   A₁ U A₂ U … U A_m U. ... ...

và B có một tương ung mot đối một.

Vậy hợp của các A, cùng lực lượng với B.

Nhưng B cùng lực lượng với N.

Vậy hợp của một số đếm được các tập hữu hạn là một tập đếm được.

Bài tập 3: Trong các trưong hợp sau hỏi có A = B không ?

a) A là tập các số thực > 0, B là tập mọi số thực trị tuyệt đối của chính nó ;

b) A là tập các số thực > 0, B là tập mọi số thực < trị tuyệt đối của chính nó ;

c) A là tập mọi số nguyên không âm và < 100 có tam thừa là một số lẻ không chia hết cho 3, B là tập các số nguyên không âm và < 100 có bình phương trừ 1 chia hết cho 24.

Lời giải:

a) Ta nhận thấy

1) x € A = x > 0 - x = |x| x € B nghĩa là x € A => x € B, Vậy A ⊂ B.

2) x € B => x ≥ |x| ≥ 0 = x € A, nghĩa là x € B => x € А, vậy B ⊂А.

Do đó A = B 

b) Xét x < 0. Khi đó vì x < 0 nên x ∉ A. Nhưng cũng vì x < 0 nên x < |x|,

do đó x € B. Vậy A ≠ B.

c) Giả sử n € N. Chia n cho 12 ta được n = 12p + r

р € N, r € S : = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}.

Do đó

n³ = (12p)³ + 3(12p)²r + 3(12p)r² + r³ = 12k + r³, k € N.

Vì 12k là một số nguyên chắn và chia hết cho 3 nên

                        N € A ↔ r € A.

Nhưng bằng cách thử trực tiếp với mọi r € S ta thấy

                r € A ↔ r € T := {1, 5, 7, 11}.

Vậy có n € A ↔ r € T

Mặt khác n2  = (12p)² + 2(12p)r + r² = 24h + r², h € N.

Vì 24h chia hết cho 24 nên: n € B ↔ r € B.

Nhưng bằng cách thử trực tiếp với mọi r € S ta thấy: 

                 r € B ↔ r € T

Vậy có n € B ↔ r € T

Tóm lại n € A ↔ r € T ↔ n € B, tức là n € A ↔ n € B, nên A = B.

Chú ý. Theo cách giải trên thì không can han chế n < 100. Nhưng nếu hạn chế n ≤100  thi có thể giải bài toán bằng cách liệt kê các phẩn tử của hai tập A và B. Tuy nhiên cách làm này dài.

Bài tập 4: 

a) Có bao nhiêu số có 5 chữ số ?

b) Có bao nhiêu số có 5 chữ số mà các chữ số đều khác nhau ?

Lời giải:

a) Mỗi số có 5 chữ số có thể tách thành 2 phần : phần đầu là 1 chữ số khác không lấy từ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} phần sau gồm 4 chữ số bất kì, có thể trùng nhau, lãy từ 10 chữ số (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Vậy số các số có 5 chữ số bằng 9 lần số các chỉnh hợp lập chập 4 của 10 phẩn tử. Số đó là: 

                        9.10⁴ = 90000

b) Mỗi số có 5 chữ số khác nhau có hai phần: phần đầu là một chữ số khác không lấy từ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, phẩn sau là 4 chữ số bất kì khác nhau lấy từ 9 chữ số còn lại của {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Vậy số các số có 5 chữ số khác nhau bằng 9 lần số chỉnh hợp không lập chập 4 của 9 phần tử. Số đó là: 

                        9.9.8.7 = 27216

Bài tập 5: Hãy tìm biểu diễn hình học của các số phức z thỏa mãn

a) |z| < 2 

b) |z - 1| < 1

c) |z - 1 – i|  < 1

Lời giải:

a) Ảnh của các số phức z thỏa mãn |z| < 2 nằm ở trong hình tròn tâm tại gốc O và bán kính bằng 2.

b) Ảnh của các số phức z thỏa mãn |2 - 1| <1 nằm ở trong và trên chu vi của hình tròn có tâm tại ảnh của z = 1 và có bán kính bằng 1, tức là phần trong và trên đường tròn tâm (1, 0) bán kính 1.

c) Ảnh của các số phức z thỏa mãn |z - 1 – i| < 1 nằm ở trong hình tròn có tâm tại ảnh của 2 = 1 + i và có bán kính bằng 1, tức là phán trong cùa hình tròn tâm (1,1) bán kính 1.