Bài 7 trang 80 Toán lớp 11 Cánh diều

Bài 7 trang 80 Toán lớp 11 Cánh diều: Cho một tam giác đều ABC cạnh a. Tam giác A₁B₁C₁ có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác ABC, tam giác A₂B₂C₂ có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác A₁B₁C₁ , ..., tam giác A_n+1B_n+1Cⁿ⁺¹ có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác A_nB_nC_n, ... Gọi p₁, p₂, ..., p_n, ... và S₁, S₂, ..., S_n, ... theo thứ tự là chu vi và diện tích của các tam giác A₁B₁C₁, A₂B₂C_2, ..., A_nB_nC_n, ... .

a) Tìm giới hạn của các dãy số (p_n) và (S_n).

b) Tìm các tổng p₁+p₂+...+p_n+... và S₁+ S₂+...+S_n+... .

Lời giải:

a) Ta có: 

Suy ra: limp_n=lim3a.1/2ⁿ=0

b) (p_n) là cấp số nhân lùi vô hạn với công bội q=1/2, ta có:

(S_n) là cấp số nhân lùi vô hạn với công bội q = 1/4