Lý thuyết Toán 8 Bài 6. Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Bài 6. Giải bài toán bằng cách lập phương trình

A. Lý thuyết

1. Cách giải toán

Các bước giải toán bằng cách lập phương trình:

Bước 1: Lập phương trình

+ Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.

+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết khác theo ẩn và các đại lượng đã biết.

+ Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải phương trình

Bước 3: Trả lời

Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thoả mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.

2. Chú ý về chọn ẩn và điều kiện thích hợp của ẩn

- Thông thường thì bài toán hỏi về đại lượng gì thì chọn ẩn là đại lượng đó.

- Về điều kiện thích hợp của ẩn:

+ Nếu x biểu thị một chữ số thì 0 ≤ x ≤ 9

+ Nếu x biểu thị tuổi, sản phẩm, người thì x nguyên dương.

+ Nếu x biểu thị vận tốc của chuyển động thì x > 0.

Ví dụ 1: Tìm hai số nguyên liên tiếp, biết rằng 2 lần số nhỏ cộng 3 lần số lớn bằng -87.

Hướng dẫn:

Gọi x là số nhỏ trong hai số nguyên cần tìm; x ∈ Z.

⇒ x + 1 là số thứ hai cần tìm.

Theo giả thiết, ta có 2 lần số nhỏ cộng 3 lần số lớn bằng - 87

Khi đó ta có: 2x + 3( x + 1 ) = - 87

⇔ 2x + 3x + 3 = - 87 ⇔ 5x = - 90 ⇔ x = - 18.

So sánh với điều kiện x = - 18 thỏa mãn.

Vậy: Số thứ nhất cần tìm là -18, số thứ hai là -17.

Ví dụ 2: Một đội công nhân sửa một đoạn đường trong 3 ngày. Ngày thứ nhất đội sửa được 1/3 đoạn đường, ngày thứ hai đội sửa được một đoạn đường bằng 4/3 đoạn được làm được trong ngày thứ nhất, ngày thứ ba đội sửa 80m còn lại. Tính chiều dài đoạn đường mà đội phải sửa.

Hướng dẫn:

Gọi x (m) là độ dài đoạn đường đội công nhân đó phải sửa; x > 80.

+ Ngày thứ nhất đội đó sửa được x/3 (m) đường.

+ Ngày thứ hai đội đó sửa được 4/3.x/3 = (4x)/9 (m) đường

+ Ngày thứ ba đội đó sửa được x - x/3 - (4x)/9 = (2x)/9 (m)

Theo giả thiết ngày thứ ba đội đó sửa được 80m

Khi đó ta có (2x)/9 = 80 ⇔ x = 80:2/9 = 360 (m).

Vậy độ dài quãng đường cần sửa là 360 m.

B. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Loại tìm số gồm hai hoặc ba chữ số

Số có hai chữ số có dạng: xy− = 10x + y. Điều kiện: x,y ∈ N, 0 < x ≤ 9, 0 ≤ y ≤ 9.

Số có ba chữ số có dạng: xyz− = 100x + 10y + z. Điều kiện: x,y,z ∈ N, 0 < x ≤ 9, 0 ≤ y,z ≤ 9.

Dạng 2: Làm công việc chung – riêng

- Khi công việc không được đo bằng số lượng cụ thể, ta coi toàn bộ công việc là một đơn vị công việc, biểu thị bởi số 1.

- Năng suất làm việc là phần việc làm được trong một đơn vị thời gian.

Gọi A là khối lượng công việc, n là năng suất, t là thời gian làm việc. Ta có: A = n.t.

Tổng năng suất riêng bằng năng suất chung khi cùng làm.

Dạng 3: Loại toán chuyển động

Gọi s là quãng đường động tử đi, v là vận tốc, t là thời gian đi, ta có: s = v.t.

Vận tốc xuôi dòng nước = Vận tốc lúc nước yên lặng + Vận tốc dòng nước

Vận tốc ngược dòng nước = Vận tốc lúc nước yên lặng – Vận tốc dòng nước

Dạng 4: Loại toán về hình hình học

Hình chữ nhật có hai kích thước a, b. Diện tích: S = a.b;    Chu vi: P = 2( a + b )

Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông a, b. Diện tích: S = 1/2ab.

Ví dụ 3: Một xe đạp khởi hành từ điểm A, chạy với vận tốc 20 km/h. Sau đó 3 giờ, một xe hơi đuổi theo với vận tốc 50 km/h. Hỏi xe hơi chạy trong bao lâu thì đuổi kịp xe đạp?

Hướng dẫn:

Gọi t (h) là thời gian từ lúc xe hơi chạy đến lúc đuổi kịp xe đạp; t > 0.

⇒ t + 3 (h) là thời gian kể từ lúc xe đạp đi đến lúc xe hơi đuổi kịp.

+ Quãng đường xe đạp đi được là s₁ = 20(t + 3) km.

+ Quãng đường xe hơi đi được là s₂ = 50t km.

Vì hai xe xuất phát tại điểm A nên khi gặp nhau s1 = s2.

Khi đó ta có: 20(t + 3) = 50t ⇔ 50t - 20t = 60 ⇔ 30t = 60 ⇔ t = 2 (h) (thỏa mãn)

Vậy xe hơi chạy được 2 giờ thì đuổi kịp xe đạp.

Ví dụ 4: Chu vi một khu vườn hình chữ nhật bằng 60m, hiệu độ dài của chiều dài và chiều rộng là 20m. Tìm độ dài các cạnh của hình chữ nhật.

Hướng dẫn:

Gọi x (m) là độ dài chiều rộng của hình chữ nhật; x > 0.

⇒ x + 20 (m) là độ dài chiều dài của hình chữ nhật.

Theo giả thiết ta có chu vi hình chữ nhật bằng 60 m.

Khi đó ta có P = 2(x + x + 20) = 60 ⇔ 2x + 20 = 30 ⇔ 2x = 10 ⇔ x = 5.

Do đó: Chiều rộng hình chữ nhật là 5m.

Chiều dài hình chữ nhật là 25m.

Xem thêm Giải Toán 8: Bài 6. Giải bài toán bằng cách lập phương trình