Lý thuyết Toán 8 Bài 5. Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Bài 5. Phương trình chứa ẩn ở mẫu

A. Lý thuyết

1. Tìm điều kiện xác định của một phương trình

Điều kiện xác định của phương trình là tập hợp các giá trị của ẩn làm cho tất cả các mẫu trong phương trình đều khác 0.

Điều kiện xác định của phương trình viết tắt là ĐKXĐ.

Ví dụ: Tìm điều kiện xác định của các phương trình sau

a) (x - 1)/(x + 2) + 1 = 1/(x - 2).

b) (x - 1)/(1 - 2x) = 1.

Hướng dẫn:

a) Ta thấy x + 2 ≠ 0 khi x ≠ - 2 và x - 2 ≠ 0 khi x ≠ 2.

Do đó ĐKXĐ của phương trình (x - 1)/(x + 2) + 1 = 1/(x - 2) là x ≠ ± 2.

b) Ta thấy 1 - 2x ≠ 0 khi x ≠ 1/2.

Do đó ĐKXĐ của phương trình (x - 1)/(1 - 2x) = 1 là x ≠ 1/2.

2. Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Ta thường qua các bước:

Bước 1: Tìm điều kiện xác của phương trình

Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế rồi khử mẫu.

Bước 3: Giải phương trình tìm được.

Bước 4: Kết luận.

Nghiệm của phương trình là giá trị của ẩn thoả mãn ĐKXĐ của phương trình.

Ví dụ 1: Giải phương trình:

Hướng dẫn:

Bước 1: Điều kiện xác định: x ≠ 0; x ≠ 2.

Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế rồi khử mẫu

Ta có:

⇒ 2(x - 2)(x + 2) = x(2x + 3)

Bước 3: Giải phương trình

Ta có: 2(x - 2)(x + 2) = x(2x + 3) ⇔ 2(x² - 4) = 2x² + 3x

⇔ 2x² - 8 = 2x² + 3x ⇔ 3x = - 8 ⇔ x = - 8/3.

Bước 4: Kết luận

So sánh với ĐKXĐ, ta thấy x = - 8/3 thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = {- 8/3}.

Ví dụ 2: Giải phương trình

Hướng dẫn:

+ ĐKXĐ: x ≠ 0; x ≠ - 5.

+ Ta có:

⇒ (2x + 5)(x + 5) - 2x² = 0

⇔ 2x² + 10x + 5x + 25 - 2x² = 0 ⇔ 15x = - 25 ⇔ x = - 5/3.

+ So sánh với ĐKXĐ ta thấy x = -5/3 thỏa mãn điều kiện.

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {-5/3}.

B. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình

Phương pháp: Điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình là giá trị của ẩn để tất cả các mẫu trong phương trình đều khác 0.

Dạng 2: Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Phương pháp:

+ Tìm ĐKXĐ của phương trình.

+ Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.

+ Giải phương trình vừa nhận được.

+ Chọn các giá trị của ẩn thỏa mãn ĐKXĐ rồi viết tập nghiệm.
Ngoài ra, ta sử dụng các hằng đẳng thức và các quy tắc đổi dấu, phá ngoặc… để biến đổi.

Xem thêm Giải Toán 8: Bài 5. Phương trình chứa ẩn ở mẫu