Lý thuyết Toán 8 Bài 4. Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bài 4. Bất phương trình bậc nhất một ẩn

A. Lý thuyết

1. Định nghĩa

Bất phương trình dạng ax + b < 0 (hoặc ax + b > 0, ax + b < 0, ax + b ≤ 0, ax + b ≥ 0) trong đó a và b là hai số đã cho, a ≠ 0 , được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Ví dụ:

Các bất phương trình bậc nhất một ẩn như: 2x+3 > 0; 3-x ≤ 0; x + 2 < 0; 4x+7 ≥ 0; ...

2. Hai quy tắc biến đổi bất phương trình

a) Quy tắc chuyển vế

Khi chuyển một hạng tử của bất phương trình từ vế này sang vế kia ta đổi dấu hạng tử đó.

Ví dụ: Giải bất phương trình x - 3 < 4.

Hướng dẫn:

Ta có x - 3 < 4

⇔ x < 4 + 3 (chuyển vế - 3 và đổi dấu thành 3)

⇔ x < 7.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là {x| x < 7}.

b) Quy tắc nhân với một số.

Khi nhân hai vế của bất phương trình với cùng một số khác 0, ta phải:

Giữ nguyên chiều bất phương trình nếu số đó dương.

Đổi chiều bất phương trình nếu số đó âm.

Ví dụ 1: Giải bất phương trình (x - 1)/3 ≥ 2.

Hướng dẫn:

Ta có: (x - 1)/3 ≥ 2

⇔ (x - 1)/3.3 ≥ 2.3 (nhân cả hai vế với 3)

⇔ x - 1 ≥ 6 ⇔ x ≥ 7.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là {x| x ≥ 7}.

Ví dụ 2: Giải bất phương trình 1 - 2/3x ≤ - 1.

Hướng dẫn:

Ta có: 1 - 2/3x ≤ -1 ⇔ - 2/3x ≤ -2

⇔ - 2/3x.(-3) ≥ (-2)(-3) (nhân cả hai vế với -3 và đổi dấu)

⇔ 2x ≥ 6 ⇔ x ≥ 3.

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là { x| x ≥ 3 }.

3. Giải bất phương trình một ẩn

Áp dụng hai quy tắc biến đổi trên, ta giải bất phương trình bậc nhất một ẩn như sau:

Dạng ax + b > 0 ⇔ ax > -b

⇔ x > - b/a nếu a > 0 hoặc x < - b/a nếu a < 0.

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là

hoặc

Các dạng toán như ax + b < 0, ax + b ≤ 0, ax + b ≥ 0 tương tự như trên

Ví dụ 1: Giải bất phương trình 2x - 3 > 0

Hướng dẫn:

Ta có: 2x - 3 > 0

⇔ 2x > 3 (chuyển -3 sang VP và đổi dấu)

⇔ 2x:2 > 3:2 (chia cả hai vế cho 2)

⇔ x > 3/2.

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là { x| x > 3/2 }.

Ví dụ 2: Giải bất phương trình 2x - 1 ≤ 3x - 7

Hướng dẫn:

Ta có: 2x - 1 ≤ 3x - 7 ⇔ - 1 + 7 ≤ 3x - 2x

⇔ x ≥ 6.

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là { x| x ≥ 6 }.

B. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Xác định nghiệm, tập nghiệm của bất phương trình và biểu diễn trên trục số

Phương pháp: Ta sử dụng các quy tắc sau:

* Qui tắc chuyển vế: Khi chuyển một hạng tử của bất phương trình từ vế này sang vế kia ta phải đổi dấu hạng tử đó.

* Qui tắc nhân với một số: Khi nhân hai vế của bất phương trình với cùng một số khác 0, ta phải:

+ Giữ nguyên chiều bất phương trình nếu số đó dương;

+ Đổi chiều bất phương trình nếu số đó âm.

Ngoài ra ta còn sử dụng hằng đẳng thức, quy đồng mẫu… để biến đổi.

Dạng 2: Xác định hai bất phương trình tương đương

Phương pháp: Bất phương trình tương đương: Hai bất phương trình tương đương là hai bất phương trình có cùng tập nghiệm.

Xem thêm Giải Toán 8: Bài 4. Bất phương trình bậc nhất một ẩn