Bài 5 trang 49 SGK Hình học 12

Bài 2 : Mặt cầu

Bài 5 trang 49 SGK Hình học 12: 

Từ một điểm M nằm ngoài mặt cầu (O; R), vẽ hai đường thẳng cắt mặt cầu lần lượt tại A, B và C, D.

a) Chứng minh rằng MA.MB = MC.MD

b) Gọi MO = d. Tính MA.MB theo R và d.

Lời giải:

Phương pháp giải:

+) Sử dụng các tam giác đồng dạng để chứng minh các tỉ lệ giữa các cạnh. Từ đó suy ra tích cần chứng minh.

+) Sử dụng định lý Pi-ta-go và tỉ lệ vừa chứng minh ở câu a để tính đại lượng cần tính.

a) Hai đường thẳng MAB và MCD giao nhau xác định một mặt phẳng (P). Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn (C), ngoại tiếp tứ giác phẳng ABCD.

Xét ΔMAC và ΔMDB có:

⇒ MA.MB = MC.MD (đpcm).

b) Giả sử đường thẳng MO cắt mặt cầu tại P và Q.

Theo kết quả phần a) ta cùng có:

MA.MB = MP.MQ

Mà MP.MQ = (MO – OP)(MO + OQ) = (d – R)(d + R) = d² – R².

Vậy MA.MB = d² – R².

• Giải Toán 12: Bài 2. Mặt cầu