Bài 22 (trang 111 sgk Hình học 11 nâng cao):
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = b, CC’ = c. Nếu AC’ = BD = B’D = √(a2 + b2 + c2 ) thì hình hộp đó có phải là hình hộp chữ nhật không? Vì sao?
Lời giải:
Áp dụng tính chất tổng bình phương hai đường chéo hình bình hành bằng tổng bình phương 4 cạnh của nó.
Ta có như sau :
AC'2+A'C2=2(AA'2+A'C2)
B'D2+BD'2=2(BB'2+BD2)
AC'2+A'C2+BD'2+BD'2
= 2(c2+c2+AC2+BD2)
= 4(a2+b2+c2)
A’C = AC’ = B’D = BD’.
AA’C’C và BB’D’D là các hình chữ nhật.
Từ đó suy ra AA’ ⊥ AC và AA’ ⊥ BD . Do đó AA’ ⊥ (ABCD), tức hình hộp ABCD. A’B’C’D’ là hình hộp chữ nhật.
Tham khảo toàn bộ: Giải Toán 11 nâng cao