Bài 15 trang 109 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao

Luyện tập (trang 109)

Bài 15 (trang 109 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): 

Cho dãy số (u_n) xác định bởi:

u₁ = 3 và u_{n + 1} = u_n + 5 với mọi

a)Hãy tính u₂, u₄ và u₆

b) Chứng minh rằng u_n= 5n - 2 với mọi n ≥ 1

Lời giải:

a) Theo đề bài ta có: u₂= u₁+ 5 = 8 ;

u₃ = u₂ + 5 = 13

u₄ = u₅ + 5 = 18

u₅ = u₄ + 5 = 23

u₆ = u₅ + 5 = 28

b) Ta sẽ chứng minh : u_n= 5n – 2(1) với mọi n ∈ N*, bằng phương pháp quy nạp.

Với n=1, ta có u₁ = 3 = 5.1 - 2

Như thế (1) đúng khi n = 1

Giả sử (1) đúng khi n=k, k ∈ n*, ta sẽ chứng minh nó cũng đúng khi n = k + 1

Thật vậy, từ công thức xác định dãy số (u_n)và giả thiết quy nạp ta có: u_{k + 1} = u_k + 5 = 5k – 2 + 5 = 5(k + 1) - 2

Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi n ∈ N*

*Cách khác: Ta có : u_{n + 1} - u_n = 5 Ɐ n ≥ 1

Do đó : u_n = (u_n - u_{n - 1}) + (u_{n - 1} - u_{n - 2}) + …+(u₂ - u₁) + u₁

Tham khảo toàn bộ: Giải Toán 11 nâng cao