Bài 10 trang 13 sgk Hình học 11 nâng cao

Bài 3: Phép đối xứng trục

Bài 10 (trang 13 sgk Hình học 11 nâng cao): 

Cho hai điểm B, C cố định nằm trên đường tròn (O ; R) và điểm A thay đổi trên đường tròn đó. Hãy dùng phép đối xứng trục để chứng minh rằng trục tâm H của tam giác ABC nằm trên một đường tròn cố định.

Hướng dẫn : Khi BC không phải là đường kính, gọi H’ là giao điểm của đường thẳng AH với đường tròn (O; R). Chứng minh rằng H đối xứng với H’ qua đường thẳng BC.

Lời giải:

Trường hợp đường BC là đường kính thì điểm H trùng điểm A, do đó điểm H nằm trên đường tròn cố định (O; R)

Xét trường hợp đường thẳng BC không là đường kính. Giả sử đường thẳng AH cắt đường tròn (O; R) tại điểm H’. Như vậy với mỗi điểm A Є (O; R) khác với điểm B và điểm C thì ta xác định điểm H’Є (O; R) . Gọi đường thẳng AA’ là đường kính của đường tròn (O; R) thì A’B // CH (Vì cùng vuông góc với AB) và A’C//BH (vì cùng vuông góc AC) nên A’BHC là hình bình hành. Vậy đường thẳng BC đi qua trung điểm của HA’. Mặt khác BC//A’H’(Vì cùng vuông góc với AH) nên đường thẳng BC cùng đi qua trung điểm của đường thẳng HH’.

Do đó điểm H và điểm H’ đối xứng với nhau qua đường thẳng BC. Nếu gọi điểm Đ là đối xứng có trục là đường thẳng BC thì điểm Đ biến điểm H’ thành điểm H. Nhưng điểm H’ luôn luôn nằm trên (O; R) nên điểm H nằm trên đường tròn cố định là ảnh hưởng của đường tròn (O; R) qua phép đối xứng trục điểm Đ

Cách khác:gọi điểm H’ là điểm đối xứng của điểm H qua BC Chứng minh tứ giác ABH’C nội tiếp, từ đó suy ra H’ nằm trên (O; R)

Tham khảo toàn bộ: Giải Toán 11 nâng cao