Bài 3 trang 71 SGK Hình học 11

Bài 4: Hai mặt phẳng song song

Bài 3 trang 71 SGK Hình học 11

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’.

a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (BDA’) và (B’D’C) song song với nhau.

b) Chứng minh rằng đường chéo AC’ đi qua trọng tâm G₁ và _G2 lần lượt của hai tam giác BDA’ và B’D’C.

c) Chứng minh G₁ và G₂ chia đoạn AC’ thành ba phần bằng nhau.

d) Gọi O và I lần lượt là tâm các hình bình hành ABCD và ΔA’C’C. Xác định thiết diện của mặt phẳng (A’IO) với hình hộp đã cho.

Lời giải

a) + A’D’ // BC và A’D’ = BC

⇒ A’D’CB là hình bình hành

⇒ A’B // D’C, mà D’C ⊂ (B’D’C) ⇒ A’B // (B’D’C) (1)

+ BB’ // DD’ và BB’ = DD’

⇒ BDD’B’ là hình bình hành

⇒ BD // B’D’, mà B’D’ ⊂ (B’D’C) ⇒ BD // (B’D’C) (2)

A’B ⊂ (BDA’) và BD ⊂ (BDA’); A’B ∩ BD = B (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra : (BDA’) // (B’D’C).

b) Gọi O = AC ∩ BD

+ Ta có: O ∈ AC ⊂ (AA’C’C)

⇒ A’O ⊂ (AA’C’C).

Trong (AA’C’C), gọi A’O ∩ AC’ = G1.

G₁ ∈ A’O ⊂ (A’BD)

⇒ G₁ ∈ AC’ ∩ (BDA’).

+ Trong hình bình hành AA’C’C gọi I = A’C ∩ AC’

⇒ A’I = IC.

⇒ AI là trung tuyến của ΔA’AC

⇒ G₁ = A’O ∩ AC’ là giao của hai trung tuyến AI và A’O của ΔA’AC

⇒ G₁ là trọng tâm ΔA’AC

⇒ A’G₁ = 2.A’O/3

⇒ G₁ cũng là trọng tâm ΔA’BD.

Vậy A’C đi qua trọng tâm G₁ của ΔA’BD.

Chứng minh tương tự đối với điểm G₂.

c) *Vì G₁ là trọng tâm của ΔAA’C nên AG₁/AI = 2/3 .

Vì I là trung điểm của AC’ nên AI = 1/2.AC’

Từ các kết quả này, ta có : AG₁ = 1/3.AC’

*Chứng minh tương tự ta có : C’G₂ = 1/3.AC’

Suy ra : AG₁ = GG₂ = G₂C’ = 1/3.AC’.

d) (A’IO) chính là mp (AA’C’C) nên thiết diện cần tìm chính là hình bình hành AA’C’C.

Xem toàn bộ Giải Toán 11: Bài 4. Hai mặt phẳng song song