Ôn tập chương 2 - Hàm số bậc nhất

Ôn tập chương II

Bài 30 trang 69 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

a. Với những giá trị nào của m thì hàm số y = (m + 6)x – 7 đồng biến?

b. Với những giá trị nào của k thì hàm số y = (-k + 9)x – 7 nghịch biến?

Lời giải:

a. Hàm số y = (m + 6)x – 7 đồng biến khi hệ số a > 0

Ta có: m + 6 > 0 ⇔ m > -6

Vậy với m > -6 thì hàm số y = (m + 6)x – 7 đồng biến

b. Hàm số y = (-k + 9)x – 7 nghịch biến khi hệ số a < 0

Ta có: -k + 9 < 0 ⇔ k > 9

Vậy với k > 9 thì hàm số y = (-k + 9)x – 7 nghịch biến.

Bài 31 trang 69 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Với những giá trị nào của m thì đồ thị của các hàm số:

y = 12x + (5 – m) và y = 3x + (3 + m)

cắt nhau tại một điểm trên trục tung?

Lời giải:

Hai đường thẳng y = 12x + (5 – m) và y = 3x + (3 + m) cắt nhau tại một điểm trên trục tung nghĩa là chúng có cùng tung độ góc.

Suy ra: 5 – m = 3 + m ⇔ 2m = 2 ⇔ m = 1

Vậy với m = 1 thì đồ thị của các hàm số y = 12x + (5 – m) và y = 3x + (3 + m) cắt nhau tại một điểm trên trục tung.

Bài 32 trang 70 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Tìm giá trị của a để hai đường thẳng:

y = (a – 1)x + 2 và y = (3 – a)x + 1 song song với nhau.

Lời giải:

Hai đường thẳng y = (a – 1)x + 2 và y = (3 – a)x + 1 có tung độ gốc khác nhau do vậy chúng song song với nhau khi và chỉ khi chúng có hệ số a bằng nhau.

Ta có: a – 1 = 3 – a ⇔ 2a = 4 ⇔ a = 2

Vậy với a = 2 thì hai đường thẳng y = (a – 1)x + 2 và y = (3 – a)x + 1 song song với nhau.

Bài 33 trang 70 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Với điều kiện nào của k và m thì hai đường thẳng sau trùng nhau?

y = kx + (m – 2)

y = (5 – k)x + (4 – m)

Lời giải:

Hai đường thẳng y = kx + (m – 2) và y = (5 – k)x + (4 – m) trùng nhau khi và chỉ khi k = 5 – k và m – 2 = 4 – m

Ta có: k = 5 – k ⇔ 2k = 5 ⇔ k = 2,5

m – 2 = 4 – m ⇔ 2m = 6 ⇔ m = 3

Vậy với k = 2,5 và m = 3 thì hai đường thẳng y = kx + (m – 2) và y = (5 – k)x + (4 – m) trùng nhau.

Bài 34 trang 70 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Cho đường thẳng y = (1 – 4m)x + m – 2 (d)

a. Với giá trị nào của m thì đường thẳng (d) đi qua gốc tọa độ?

b. Với giá trị nào của m thì đường thẳng (d) tạo với trục Ox một góc nhọn? Một góc tù?

c. Tìm giá trị của m để đường thẳng (d) cắt trục tung tại một điểm có tung độ bằng 3/2

d. Tìm giá trị của m để đường thẳng (d) cắt trục hoành tại một điểm có hoành độ bằng 1/2

Lời giải:

a. Đồ thị hàm số bậc nhất y = (1 – 4m)x + m – 2 đi qua gốc tọa độ khi 1 – 4m ≠ 0 và m – 2 = 0

Ta có: 1 – 4m ≠ 0 ⇔ m ≠ 1/4

m – 2 = 0 ⇔ m = 2

Vậy với m = 2 thì (d) đi qua gốc tọa độ.

Bài 35 trang 70 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Cho đường thẳng y = (m – 2)x + n (m ≠ 2). (d)

Tìm các giá trị của m và n trong mỗi trường hợp sau:

a) Đường thẳng (d) đi qua hai điểm A(-1;2), B(3; -4);

b) Đường thẳng (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 - √2 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ 2 + √2.

c) Đường thẳng (d) cắt đường thẳng y = 1/2x - 3/2;

d) Đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = (-3)/2x + 1/2;

e) Đường thẳng (d) trùng với đường thẳng y = 2x – 3.

Lời giải:

a) Đường thẳng y = (m – 2)x + n (d) đi qua hai điểm A(-1;2) và B(3; -4). Khi đó tọa độ các điểm A, B thỏa mãn (d), nghĩa là:

2 = (m – 2)(-1) + n (1)

và -4 = (m – 2).3 + n (2)

Rút gọn hai phương trình (1) và (2), ta được

-m + n = 0; (1’)

3m + n = 2. (2’)

Từ (1’) suy ra n = m. Thay vào (2’), ta có 3m + 3 = 2 suy ra m = 1/2.

Trả lời: Khi m = n = 1/2 thì (d) đi qua hai điểm A và B đã cho.

b) Đường thẳng (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 - √2 nên ta có n = 1 - √2.

Đường thẳng (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2 + √2 nên ta có:

Trả lời: Khi n = 1 - √2 và   thì đường thẳng (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 - √2 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ 2 + √2.

c) Ta có: y = 0,5x – 1,5. (d₁)

Đường thẳng (d) và (d₁) khi m – 2 ≠ 0,5, còn n lấy giá trị tùy ý. Suy ra (d) cắt (d₁) khi m ≠ 2,5 còn n tùy ý.

Trả lời: (d) cắt (d₂) khi m ≠ 2,5 còn n tùy ý.

d) Ta có: y = -1,5x + 0,5. (d₂)

Đường thẳng (d): y = (m – 2)x + n song song với (d₂) khi:

m – 2 = -1,5 và n ≠ 0,5

hay m = 0,5 và n ≠ 0,5.

Trả lời: (d) song song với (d₂) khi m = 0,5 và n ≠ 0,5.

e) Ta có: y = 2x – 3 (d₃)

Đường thẳng (d) trùng với (d₃) khi m – 2 = 2 và n = -3

Hay m = 4 và n = -3.

Trả lời: Khi m = 4 và n = -3 thì hai đường thẳng (d) và (d₃) trùng nhau.

Bài 36 trang 70 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

a) Vẽ đồ thị của các hàm số sau trên cùng một mặt phẳng tọa độ:

y = 3x + 6; (1)        y = 2x + 4 (2)

y = x + 2; (3)        y = 1/2x + 1. (4)

b) Gọi giao điểm của các đường thẳng (1), (2), (3), (4) với trục là A và với trục tung lần lượt là B₁, B₂, B₃, B₄ta có (B₁Ax) = α₁; ∠(B₂ Ax) = α₂; ∠(B₃ Ax) = α₃; ∠(B₄ Ax) = α₄. Tính các góc α₁, α₂, α₃, α₄.

(Hướng dẫn: Dùng máy tính bỏ túi CASIO fx – 220 hoặc CASIO fx – 500A hoặc CASIO fx – 500MS… Tính tgα₁, tgα₂, tgα₃, tgα₄ rồi tính ra các góc tương ứng).

c) Có nhận xét gì về độ dốc của các đường thẳng (1), (2), (3) và (4) ?

Lời giải:

a) - Đồ thị của hàm số y = 3x + 6 là đường thẳng đi qua hai điểm A(-2;0) và B₁(0;6).

- Đồ thị của hàm số y = 2x + 4 là đường thẳng đi qua hai điểm A(-2;0) và B₂(0;4).

- Đồ thị của hàm số y = x + 2 là đường thẳng đi qua hai điểm A(-2;0) và B₃(0;2).

- Đồ thị của hàm số y = 1/2x + 1 là đường thẳng đi qua hai điểm A(-2;0) và B₄(0;1).

b) Gọi ∠(B₁Ax) = α₁, ∠(B₂Ax) = α₂, ∠(B₃Ax) = α₃, ∠(B₄Ax) = α₄. Dùng máy tính bỏ túi CASIO fx – 220 tính tgα₁, tgα₂, tgα₃, tgα₄ và suy ra các góc tương ứng.

Ta có:

tgα₁ = 3 ⇒ α₁ ≈ 71^o33’54,18’’.

tgα₂ = 2 ⇒ α₂ ≈ 63^o26’5,82’’.

tgα₃ = 1 ⇒ α₃ ≈ 45^o.

tgα₄ = 1/2 ⇒ α₄ ≈ 26^o33’54,18’’.

c) Từ sự tăng dần của các hệ số góc: 1/2 < 1 < 2 < 3 và sự tăng dần của các góc α:

26^o33’ < 45^o < 63^o26’ < 71^o33’,

Rút ra nhận xét:

Với a > 0, khi a càng lớn thì góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và tia Ox càng lớn, và do đó độ dốc của đường thẳng (so với trục nằm ngang Ox càng lớn).

Bài 37 trang 71 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:

a) Cho các điểm M(-1; -2), N(-2; -4), P(2; -3), Q(3; -4,5). Tìm tọa độ của các điểm M’, N’, P’, Q’ lần lượt đối xứng với các điểm M, N, P, Q qua trục Ox.

b) Vẽ đồ thị của các hàm số sau trên cùng một hệ trục tọa độ:

y = |x|;

y = |x + 1|.

c) Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị của các hàm số y = |x| và y = |x + 1|.

Từ đó, suy ra phương trình |x| = |x + 1| có nghiệm duy nhất.

Lời giải:

a) (h.25)

Gọi M’, N’, P’, Q’ là các điểm lần lượt đối xứng qua các điểm M, N, P, Q qua trục Ox, ta thấy rằng hoành độ của các điểm đối xứng nhau qua trục hoành bằng nhau, còn tung độ của các điểm đó thì đối nhau: M’(-1; 2); N’(-2; 4); P’(2; 3); Q’(3; 4,5).

b) (h.26)

Ta vẽ đồ thị y = x với x ≥ 0.

Vẽ đồ thị y = -x với x ≤ 0.

Ta vẽ đồ thị y = x + 1 với x ≥ -1

Vẽ đồ thị y = -x – 1 với x ≤ -1.

c) (h.26) Đồ thị y = -x cắt đồ thị y = x + 1 tại điểm M(x_o, y_o). Vì M thuộc cả hai đồ thị nên tọa độ của M phải thỏa mãn các hàm số, nghĩa là:

 

Đồ thị y = |x| và đồ thị y = |x + 1| chỉ cắt nhau tại một điểm duy nhất M((-1)/2; 1/2).

Suy ra phương trình |x| = |x + 1| chỉ có nghiệm duy nhất x = (-1)/2.

Bài 38 trang 71 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Cho các hàm số:

y = 2x – 2      (d₁)

y = - (4/3).x – 2      (d₂)

y = (1/3).x + 3      (d₃)

a. Vẽ đồ thị các hàm số đã cho trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

b. Gọi giao điểm của đường thẳng (d₃) với (d₁) và (d₂) theo thứ tự là A và B. Tìm tọa độ của A, B.

c. Tính khoảng cách AB.

Lời giải:

a. *Vẽ đồ thị hàm số y = 2x – 2 (d₁)

Cho x = 0 thì y = -2. Ta có: (0; -2)

Cho y = 0 thì 2x – 2 = 0 ⇔ 2x = 2 ⇔ x = 1. Ta có: (1; 0)

Đồ thị hàm số đi qua hai điểm (0; -2) và (1; 0)

*Vẽ đồ thị hàm số y = - (4/3).x – 2 (d₂)

Cho x = 0 thì y = -2. Ta có: (0; -2)

Cho y = 0 thì - (4/3).x – 2 = 0 ⇔ x = -1,5. Ta có: (-1,5; 0)

Đồ thị hàm số đi qua hai điểm (0; -2) và (-1,5; 0)

*Vẽ đồ thị hàm số y = (1/3).x + 3 (d₃)

Cho x = 0 thì y = 3. Ta có: (0; 3)

Cho y = 0 thì (1/3).x + 3 = 0 ⇔ x = -9. Ta có: (-9; 0)

Đồ thị hàm số đi qua hai điểm (0; 3) và (-9; 0)

b. Phương trình hoành độ giao điểm của (d1) và (d₃):

2x – 2 = (1/3).x + 3 ⇔ 2x - (1/3).x = 3 + 2 ⇔ (5/3).x = 5 ⇔ x = 3

Tung độ giao điểm: y = 2.3 – 2 ⇔ y = 6 – 2 = 4

Vậy tọa độ điểm A là A(3; 4)

Phương trình hoành độ giao điểm của (d₂) và (d₃):

- (4/3).x – 2 = (1/3).x + 3 ⇔ (1/3).x + (4/3).x = -2 – 3 ⇔ (5/3).x = -5 ⇔ x = -3

Tung độ giao điểm: y = (1/3).(-3) + 3 ⇔ y = -1 + 3 = 2

Vậy tọa độ điểm B là B(-3; 2)

c. Ta có: AB²= (x_A– x_B)² + (y_A – y_B)² = (3 + 3)² + (4 – 2)² = 40

AB = √40 = 2√10 .